¿Por qué $U(n,n)= GL(2n, \mathbb{C}) \cap O(2n,2n)$ ?

Question

He leído la declaración anterior. He intentado probarlo pero no he podido. Para mí, $O(2n,2n)$ ya es un subgrupo de $GL(2n,\mathbb{C})$ .

Answer 1

Normalmente, $O(2n,2n)$ es un grupo de $4n$ -por- $4n$ por lo que ambas $GL(2n,\mathbb C)$ y $U(n,n)$ tendría que asignarse a $GL(4n,\mathbb R)$ . Esto no es un problema, aunque puede causar cierta disonancia cognitiva. Cualquier elección de isomorfismo $\mathbb C^{2n}\rightarrow\mathbb R^{4n}$ lo hará, dando imbeddings a $GL(4n,\mathbb R)$ .

Un truco habitual con los grupos clásicos es el siguiente: sea $(,)$ sea la forma hermitiana de firma $n,n$ invariante izquierda por $U(n,n)$ . Sea $\langle u,v\rangle=\Re(u,v)$ ser la parte real. Utilizando nuestro isomorfismo elegido $\mathbb C^{2n}\rightarrow \mathbb R^{4n}$ da una simétrica $\mathbb R$ -valorado desde $\langle,\rangle$ en $\mathbb R^{4n}$ . Por diseño, la imagen de $U(n,n)$ conserva $\langle,\rangle$ . Además, la firma de $\langle,\rangle$ es simplemente el "doble" que el de $(,)$ así es $2n,2n$ .

Así, por simples razones $U(n,n)$ inyecta a $O(2n,2n)$ . A continuación, un recuento de dimensiones (mirando el álgebra de Lie) muestra que las dimensiones son iguales, por lo que al menos los componentes conectados de la identidad son los mismos.