Grado de componentes transitivos es impar implica $|G|$ es impar

Question

Quiero demostrar que: el pedido de un grupo de permutación $G \le S^\Omega$ es impar si y sólo si los grados de todos los transitiva constituyentes de $G$ y los grados de todos los transitiva constituyentes de cada una de las $G_\alpha (\alpha \in \Omega)$ son impares. Este es el Ejercicio 3.13 en Wielandt del texto.

(Permítanme recordar que si $\Delta \subseteq \Omega$ es un bloque fijo de $G$, $G$ restringido a $\Delta$, denotado $G^\Delta$, es llamado a una constituyente. Es transitivo iff $\Delta$ es un mínimo de bloque fijo (es decir, una órbita). Así que la afirmación pide mostrar que $|G|$ es impar iff cada órbita de $G$ y cada órbita de cada una de las $G_\alpha$ tiene longitud impar).

La sugerencia es utilizar estos tres hechos: (i) $|G_\alpha|~|\alpha^G|=|G|$. (ii) $|G:G_{\alpha \beta}| = |\alpha^G| |\beta^{G_\alpha}| = |\beta^G| |\alpha^{G_\beta}|$. (iii) Si el primer $p$ divide $|G|$, $G$ contiene un elemento cuyo ciclo de descomposición contiene un $p$-ciclo.

La implicación es probar usando (ii): Si $|\alpha^G|$ o $|\beta^{G_\alpha}|$ es incluso para cualquier $\alpha,\beta$, luego por (ii) $|G|$ es incluso. Cómo puedo demostrar lo contrario?

Answer 1

La pregunta es esencialmente contestado en mi comentario y Derek Holt comentario anterior. Esta respuesta se profundiza en estos dos comentarios.

Deje $G \le S^\Omega$. Tenemos que mostrar que si $|G|$ es incluso, a continuación, algunos órbita $\alpha^G$ $G$ o algunos órbita $\beta^{G_\alpha}$ de algunos $G_\alpha$ $(\alpha \in \Omega)$ incluso ha de longitud.

Desde $|G|$ es aún, por (iii) no existe $g,\alpha,\beta$ tal que $g=(\alpha,\beta) \cdots \in G$. Esto es suficiente para mostrar que para este $\alpha,\beta$, $|G:G_{\alpha \beta}|$ es incluso; (ii) se sigue que uno de $|\alpha^G|$ o $\beta^{G_{\alpha}}|$ es también incluso. La permutación $g$ contiene el 2-ciclo de $(\alpha,\beta)$. Por lo tanto $g$ corrige el conjunto de $\{\alpha,\beta\}$ setwise pero no pointwise, es decir,$g \in G_{\{\alpha,\beta\}} - G_{\alpha \beta}$. Además, cada elemento de a $G_{\{\alpha,\beta\}}$ es en el subgrupo $G_{\alpha \beta}$ o en el coset $g G_{\alpha \beta}$, de donde el índice de $|G_{\{\alpha,\beta\}}:G_{\alpha \beta}|$ es igual a 2. Por lo tanto, el índice de $|G:G_{\alpha \beta}| = |G:G_{\{\alpha,\beta\}}| |G_{\{\alpha,\beta\}}:G_{\alpha \beta}|$ es incluso.