Pregunta sobre el axioma de extensionalidad

Question

Jech del texto sobre la Teoría de conjuntos se afirma lo siguiente:

Si X y y tienen los mismos elementos, entonces X = Y :

∀u(u ∈ X ↔ u ∈ Y ) → X = Y.

A la inversa, es decir, si X = Y entonces u ∈ X ↔ u ∈ Y es un axioma de la predicado de cálculo. Así tenemos

X = Y si y sólo si ∀u(u ∈ X ↔ u ∈ Y).

El axioma expresa la idea básica de un conjunto: Un conjunto es determinado por sus elementos.

Para comprobar mi entender, son los siguientes cierto?

(1) El axioma de extensión sólo indica que si dos conjuntos tienen los mismos miembros, entonces los dos conjuntos iguales.

(2) es, por otro lado, un axioma de que el lenguaje de la teoría de conjuntos (es decir, el predicado de cálculo) que si dos conjuntos iguales, entonces tienen los mismos miembros.

Una tercera pregunta:

(3) parece que los axiomas de ZFC son muy independientes de la lengua que se está trabajando con. Es decir, los axiomas de ZFC no hemos estado debe trabajar en el lenguaje de predicados de cálculo. Entonces me tome existen lenguas que se podría trabajar con los que no tienen la propiedad de que si dos conjuntos son iguales, tienen los mismos miembros (por lo que sólo pudimos concluir que si dos conjuntos tienen los mismos miembros, que son los mismos y no a la inversa). ¿Es esto cierto? Hacer matemáticos de trabajo en otros idiomas además del predicado de cálculo?

Answer 1

Las dos primeras preguntas son respondidas sí. Cabe señalar que en los textos más antiguos de la igualdad se ha omitido por completo de la lengua, y se define con $\in$ como hacer el axioma de extensionality trivial.

A la tercera pregunta, trabajamos con lo que se adecue a nuestro contexto mejor. La teoría de conjuntos que se suele considerar como una teoría de la lógica de primer orden, pero se puede considerar como una teoría de segundo orden de la lógica (incluyendo una buena actualización el axioma de esquemas), y puede ser considerado en el contexto de intuitionistic lógica así.

Hay varios niveles de formalidad, la lógica de los axiomas, reglas de inferencia), el idioma, los axiomas, la semántica. Podemos modificar lo que quieras para lo que se quiere modificar. Sólo tenemos que preguntarnos si es o no va a ser útil, posiblemente consistente, o interesante.

Answer 2

Sí (1) y (2).

Como para (3): El lenguaje de la teoría de conjuntos es $\{\in\}$. Por lo tanto, me parece que en cualquier idioma en el que se puede expresar de pertenencia que necesariamente va a ser capaz de concluir "si dos conjuntos son iguales, tienen los mismos miembros". Por supuesto, esto corresponde a nuestra intuición: dos conjuntos son iguales debe contener los mismos elementos.

Tenga en cuenta que aquí la membresía abarca más elementos en el modelo. Si se agregan elementos de los conjuntos que no son elementos del modelo, a continuación, usted puede tener dos conjuntos son iguales en el modelo, pero no es igual (no contienen los mismos elementos) si se ve desde fuera de la modelo.

En cuanto a tu última pregunta: sí, hay deducción lógica a otros sistemas de primer orden de la lógica (= predicado de cálculo). El lenguaje de los conjuntos de $\{\in\}$ todavía se $\{\in\}$, de modo que lo que escribí anteriormente debe todavía se mantienen.

Answer 3

(1) y (2) son correctas.

Como para (3), es el recuerdo de Leibniz de la Ley -- si $a$ $b$ son una y la misma cosa, entonces lo que sea propiedad de $a$ $b$ debe tener demasiado. Aplicado a conjuntos, si $a$ $b$ son uno y el mismo se establece, pues, independientemente de la propiedad $a$ $b$ debe tener demasiado. Así, en particular, si $a$ $b$ son uno y el mismo, si $a$ tiene la propiedad de tener $x$ como un miembro, $b$ tiene la propiedad de tener $x$ como miembro. En símbolos, si que ayuda, si $a = b$$x \in a \to x \in b$. Y, por supuesto, de la misma manera nosotros tenemos si $a = b$$x \in b \to x \in a$. Así:

si $a$ $b$ son conjuntos, entonces si $a = b$ $x \in a \equiv x \in b$

Pero $x$ fue arbitraria, por lo que hay implícito de la generalización de aquí que podemos hacer explícito, una vez más los préstamos lógica de la notación

si $a$ $b$ son conjuntos, entonces si $a = b$ $\forall x(x \in a \equiv x \in b)$

Ahora, en conseguir este lejos que estamos usando sólo el sector informal de la Ley de Leibniz, la notación de la membresía, y un poco de práctica lógica de la notación. No estamos apelando a un sistema formal; más bien, estamos apelando a la informal de razonamiento matemático (el tipo de razonamiento que la lógica de libros objetivo de formalizar el uso de la clásica de predicados de cálculo). Porque nos hacen desear la formal predicado de cálculo para replicar este informal razonamiento matemático, vamos a lograr, dentro del cálculo, se aplica a un lenguaje con $\in$ disponible

$a = b \to \forall x(x \in a \equiv x \in b)$

Pero los verdaderos motivos de esta mitad de la versión formal de la extensionality principio son el telón de fondo informal razonamiento uso de Leibniz de la Ley que se pretende regimiento formalmente. Lo que sucede aquí es que no es arbitraria la apelación a un cálculo formal en lugar de otro.