Usted está de pie en el origen de un "bosque infinito" la celebración de un "infinito bb-gun"

Question

Puedo usar historias como estas para desarrollar la intuición... o tal vez de destruir. Tengo mis propias respuestas en mente, pero quiero ver si he cometido algún error...

Usted está de pie en el origen de un "bosque infinito" la celebración de un "infinito bb-pistola". Los "árboles" en este bosque se encuentran en el entramado de puntos de todos los que te rodean. (El entramado puntos son como las de papel cuadriculado y se alinean con los puntos cardinales: N, S, E, W.) El "bosque" es la Euclídea en el sentido de que los árboles no tienen ancho. Golpear a un árbol con su bb-arma que debe aspirar a la perfección.

Usted, por ejemplo, chocó contra un árbol si se disparó el arma de fuego debido norte, sur, este u oeste. (Sus balas no tienen ancho.)

A. el fuego de la pistola en una dirección arbitraria, sin tomarse la molestia de apuntar. Lo que sucede?

B. Usted consigue un nuevo bb-pistola y las balas tienen un poco ancho para ellos. ($\delta$?) El fuego de la pistola en una dirección arbitraria, sin tomarse la molestia de apuntar. Lo que sucede?

C. Todos los árboles son retirados que han coordenadas cuyos valores absolutos no son cuadrados perfectos. (Por lo tanto, sólo los puntos $(25, 100)$ y $(4,-1600)$ restantes.) De nuevo el uso de ancho de menos balas. El fuego de la pistola en una dirección arbitraria, sin tomarse la molestia de apuntar. Lo que sucede?

D. de Nuevo, sólo que con los cuadrados perfectos, pero ahora las balas han ancho. Lo que sucede?

Answer 1

A., C. La probabilidad de que usted golpea un árbol es de $0$. Esto es equivalente a la afirmación de que el conjunto de ángulos en los que se puede ver un árbol es de medida cero en us $[0, 2\pi)$ con la medida de Lebesgue, que sigue, ya que es contable.

B. La probabilidad de que usted golpea un árbol es de $1$. Por Dirichlet del teorema de aproximación, para cualquier real $\alpha$, existen una infinidad de pares $p_n, q_n$ de números enteros tales que $|\alpha \frac{p_n}{q_n}| < \frac{1}{q_n^2}$. De ello se deduce que la distancia entre los puntos $(q_n, q_n \alpha)$ y $(q_n, p_n)$ es en la mayoría de los $\frac{1}{q_n}$, y dado que la secuencia de $q_n$ tiende a $\infty$ se sigue dejando que $\alpha = \tan \theta$ donde $\theta$ es el ángulo en el que despidió a que para cualquier tamaño de la bala $\delta > 0$ vamos a golpear un árbol en $(q_n, p_n)$ donde $q_n > \frac{1}{\delta}$.

D. La probabilidad de que usted golpea un árbol es todavía $1$. Esto es una consecuencia del siguiente teorema, que acabo de enterarme de por pedir este MO pregunta.

Teorema (Khinchin): Deje que $\phi(q) : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ ser un monótonamente decreciente de la función. Para casi todos los números reales $\alpha$, el número de pares de enteros positivos $(q, p)$ satisfactoria

$$\left| p - q\alpha \right| < \phi(q)$$

es infinito si $\sum \phi(q)$ diverge, y finito si $\sum \phi(q)$ converge.

En particular, si $\phi(q) = \frac{1}{q \ln q}$ (la suma de la que difiere, por ejemplo, la integral de la prueba), obtenemos que para casi todos los real $\alpha$ hay infinitamente muchas soluciones $(q, p)$ a

$$\left| \frac{p}{q} - \alpha \right| < \frac{1}{p^2 \ln q}.$$

Ahora vamos a $\alpha = \sqrt{\tan \theta}$. Con una probabilidad de 1 $de$ que habrá infinidad de $(q, p)$ satisface la condición anterior. Entonces

$$\left|p^2 + q^2 \tan \theta \right| < \frac{\left| \frac{p}{q} + \sqrt{\tan \theta} \right|}{\ln q}.$$

Tomando $q$ lo suficientemente grande como para que el lado derecho es menor que $\frac{\delta}{2}$ de ello se desprende que una bala un disparo en el ángulo $\theta$ le golpeó el árbol en $(q^2, p^2)$. (Yo sólo estoy trabajando en el cuadrante positivo pero la generalización de los otros cuadrantes debe ser clara.)

Answer 2

Curiosamente, la fracción de la rejilla de puntos que usted podría golpear (en la pregunta no lo que se le pide) de el origen es $$6 / {\pi}^2$$ o cerca del 61%. Ver los Problemas de la Investigación en Geometría Discreta, Pedro de Latón, W. O. J. Moser, János Pach, p.430, "problemas de Visibilidad para la red de puntos".

Answer 3

El problema con los árboles de anchura finita en todo el entramado de puntos se llama "Poli de la Huerta Problema". Otras variantes tales como mayores dimensiones y formas diferentes de la huerta están en la literatura bajo el mismo nombre, o a variaciones de la visibilidad, de celosía punto, y huerto. Ejemplo de resultado de búsqueda:

http://www.rose-hulman.edu/mathjournal/archives/2006/vol7-n2/paper9/v7n2-9pd.pdf

Para el problema con el ancho cero árboles y la visibilidad desde el origen (es decir., primitiva de celosía puntos) creo que los $6/\pi^2$ densidad se atribuye a Chebyshev en la década de 1800, pero parece que el tipo de resultado que podría haber sido conocido antes considerablemente y con frecuencia redescubierto.

Answer 4

B. en el anillo de $i$ a $r+dr$ hay $2*\pi *r*dr$ árboles. Si movemos el diámetro de la bala a los árboles, que sobrepasan un ángulo $\delta*2*\pi*r*dr/r$. Este llega a $2\pi$ a $r=1/\delta$, por lo que se acerca de a dónde nos iba a esperar para golpear un árbol. Como la integral diverge, se nos garantiza que chocó contra un árbol.

D. Si hacemos el tamaño de los árboles δ que subtienda un ángulo $\delta /\sqrt {i^4+j^4}$ No la suma de este divergen? La necesitamos para superar los $\pi /2$ como he cubierto el primer cuadrante.