¿Todo + periódico en dirección imaginaria y limitada en la línea verdadera implica constante?

Question

Estaba leyendo algunas diapositivas de una conferencia. En una prueba, surgió la necesidad de mostrar una cierta función del $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ era constante. El argumento se procedió mediante la comprobación de que

1. $f$ fue todo
2. $f(z+i) = f(z)$ todos los $z$
3. $f$ fue delimitada en $\mathbb{R}$

y, a continuación, concluyendo que $f$ debe ser constante. He seguido con las pruebas de las tres reclamaciones no hay problema, pero mi análisis complejo es suficientemente débil que no estoy seguro de cómo se supone que uno debe concluir que $f$ es constante. Claramente el teorema de Liouville no se aplica directamente. Mi conjetura es que algún tipo de límite principio se aplica a la "rectángulo" $R = \{ z \in \mathbb{C} : 0 \leq \Im(z) \leq 1 \}$. Por ejemplo, si el máximo de $|f|$ $R$ debe ocurrir en el límite, entonces el resultado de la siguiente manera. Mi análisis complejo es irregular suficiente, sin embargo, que no me he enterado si tal resultado.

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Añadió:

• Relevante: Lindelof del teorema de
• El presente artículo contiene un ejemplo esclarecedor. Si tomamos $f(z) = \exp(\exp(2 \pi z))$, entonces (1) y (2) son satisfechos. (3) es "la mitad satisfecho" en el sentido de que $\lim_{t \to -\infty} f(z) = 1$ aquí.

Answer 1

Necesita más premisas a la conclusión de que $f$ es constante. Por ejemplo, la función $$ f (z) = \exp (-\exp (2\pi z)) $$ satisface todas sus suposiciones.

Nota: No había pensado sobre eso en mucho tiempo, y primero pensé Teorema de Hadamard tres líneas sería fronteridad en la tira. Pero mi memoria me estaba jugando algún truco y fronteridad en la tira es en realidad un requisito de este último.