Incrustación de $\omega_1$ en los hyperreals

Question

He estado tratando de mostrar que existe un subconjunto de la hyperreals que ha pedido el tipo de $\omega_1$, es decir, que existe un subconjunto $A \subseteq {}^*\mathbb{R}$ para las que existe un orden, un isomorfismo de $\omega_1$ a $A$.

Aquí el hyperreals se construyen utilizando una ultrafilter, $\mathscr{U}$,$\omega$, - al igual que la construcción presenta en la página de la wikipedia.

Yo sé que uno no puede encontrar un subconjunto de a $\mathbb{R}$, pero yo realmente no veo cómo la situación es mucho mejor para el hyperreals. Al principio yo creía que uno debería ser capaz de encontrar un subconjunto de la hyperreals simplemente porque no eran "más" hyperreals, pero incluso que no es (totalmente) verdadero, porque el $\mathbb{R}$ ${}^*\mathbb{R}$ tienen la misma cardinalidad. Realmente no he sido capaz de despegar y me preguntaba si alguien podría arrojar algo de luz sobre cómo construir una incrustación/subconjunto de ${}^*\mathbb{R}$? Cualquier comentario se agradece mucho.

Answer 1

Lo que quiero es que el argumento habitual de que la delimitación número $\mathfrak{b}$ es incontable. Dada una contables de la familia $\mathscr{F}=\{f_n:n\in\omega\}\subseteq{}^\omega\omega$, definir

$$f:\omega\to\omega:n\mapsto 1+\max_{k\le n}f_k(n)\;;$$

a continuación, para cada una de las $n\in\omega$ tenemos $f(k)>f_n(k)$ todos los $k\ge n$. El uso de este, es fácil construir recursivamente una familia $\mathscr{F}=\{f_\xi:\xi<\omega_1\}\subseteq{}^\omega\omega$ tal que $f_\xi<^*f_\eta$ siempre $\xi<\eta<\omega_1$, donde de $f,g\in{}^\omega\omega$ escribimos $f<^*g$ fib hay un $n\in\omega$ tal que $f(k)<g(k)$ todos los $k\ge n$. El mapa

$$\varphi:\omega_1\to{}^*\Bbb R:\xi\mapsto [f_\xi]_{\mathscr{U}}$$

luego de un fin de isomorfismo (aunque no hay ninguna razón para pensar que es continua en los límites).

Answer 2

Deje $\alpha$ ser algunos ordinal tal que $f : \alpha \to {}^*\mathbb{R}$ es un bijection (es decir, un buen orden de la hyperreal números). Deje $I$ ser el subconjunto de $\alpha$ definido por $$ I = \{i \in \alpha : f(i) \ge f(j) \text{ para todo } j \le i\} \quad (f(i) \ge f(j) \text{ como hyperreals.}) $$ Esto es suficiente para mostrar que $I$ es incontable, y vamos a tener $\omega_1 \subset I$.

Supongamos que hacia contradicción que $I$ es sólo contables. Entonces hay una contables conjunto de hyperreal números de $h_1, h_2, h_3, \ldots$ de manera tal que TODOS los hyperreal números de $h$ están delimitadas por algunos $h_n$. Elegir representante de las secuencias de \begin{align*} h_1 &= (r_{11}, r_{12} , r_{13}, \ldots) \\ h_2 &= (r_{21}, r_{22} , r_{23}, \ldots) \\ h_3 &= (r_{31}, r_{32} , r_{33}, \ldots) \\ \vdots \end{align*} Y considerar el número hyperreal $$ q := (1 + r_{11}, 1 + \max\{r_{12}, r_{22}\}, 1 + \max\{r_{13}, r_{23}, r_{33}\}, \ldots) $$ donde $q_i = 1 + \max\limits_{1 \le j \le n} r_{ji}$. $q_i$ es real, por lo $q$ es verdadera. Pero ahora para cualquier $h_n$, $i$th coordenadas de de $q$ es estrictamente mayor que el $i$th coordenadas de $h_n$ todos los $i$ lo suficientemente grande. Por lo $q > h_n$ todos los $n$, contradicción.