Límites explícitos para la asintótica de integrales oscilantes

Question

Recordemos el siguiente teorema (c.f. LC Evans, M Zworski, "Conferencias sobre el análisis semiclásico" (Teorema 3.15, según la versión):

Teorema: Dejemos que $\varphi: \mathbb R^n \to \mathbb R$ ser suave y $a: \mathbb R^n \to \mathbb R$ suave con soporte compacto $K$ . Supongamos que existe $x_0 \in K$ con $\partial \varphi(x_0) = 0$ y $\det \partial^2 \varphi(x_0) \neq 0$ y supongamos que $\partial \varphi \neq 0$ en $K\smallsetminus \{ x_0\}$ . Para obtener un resultado positivo $\hbar$ defina: $$ I_\hbar = \int_{\mathbb R^n} e^{i\varphi(x)/\hbar} \, a(x)\,dx $$ Entonces para $k=0,1,\dots$ existe un operador diferencial $A_{2k}(x,\partial)$ de orden $\leq 2k$ y las constantes $C_N$ , todo ello en función de $\varphi$ , tal que para cada $N$ que tenemos: $$ \left| I_\hbar - \hbar^{n/2} \,e^{i\varphi(x_0)/\hbar} \sum_{k=0}^{N-1} A_{2k}(x,\partial) \, a(x_0)\,\hbar^k\right| \leq C_N\, \hbar^{N + \frac n 2} \sum_{|\alpha| \leq 2N + n+1} \sup_K | \partial^\alpha a|$$ donde $\partial^\alpha$ es la abreviatura de algún producto de $\frac{\partial}{\partial x^i}$ s.

Mi pregunta: Sé cómo dar a los operadores $A_{2k}$ explícitamente; sólo dependen de la expansión de Taylor de $\varphi$ en $x_0$ y se describen sucintamente de forma combinatoria mediante "diagramas de Feynman". Lo que me gustaría saber es cómo explícitamente el $C_N$ ¿se puede dar? Por ejemplo, ¿puede $C_N$ depender de los valores máximos de alguna lista finita (dependiendo de $N$ por supuesto) de las derivadas de $\varphi$ ?

La razón por la que pregunto es que el teorema anterior da $I_\hbar$ con una precisión de $O(\hbar^\infty)$ , pero me gustaría variar $\varphi$ y estudiar $I_\hbar$ en algún límite, y saber que mi $O(\hbar^\infty)$ Las estimaciones siguen siendo válidas, pero tengo que cambiar algunos límites, lo que requiere una descripción más explícita de las estimaciones.

Como con cualquier post, siéntete libre de re-etiquetar como sea apropiado.

Answer 1

Me di cuenta de que había este tipo de conexiones con la física... de todos modos, Yo no trabajo en cada detalle, pero Creo que esto funciona: en Primer lugar tenga en cuenta que uno puede escribir $a(x) = a(x)\psi_1(x) + a(x)\psi_2(x)$ where $\psi_1$ es 1 en un barrio de x_0 a ser descrito en un momento, y donde el segundo término no afecta a la asymptotics debido a la nonvanishing gradiente de condición.

Siguiente, nota por Morse del lexema si $\psi_1$ fue elegido correctamente, uno puede cambiar coordina con el apoyo de $a(x)\psi_1(x)$ para hacer la la fase de $\sum_{i = 1}^n x_i^2$. La clave es que el cambio de coordenadas puede ser dado por la composición de un conjunto finito de muy explícitos los cambios de coordenadas (ver pág.347 de Stein Análisis Armónico, por ejemplo). Usted obtendrá una Jacobiana factor e $a(x)\psi_1(x)$ se sustituye por su composición con el cambio de coordenadas. Desde la fase de la función es ahora fijo, el estándar asintótico métodos dará $C_N$ en términos de un número finito de derivados de los componentes de la coordenada de cambio, así como el corte de $\psi_1$

Así que la pregunta es: ¿cómo describir los derivados de los componentes de la coordenada de cambio. Este es donde usted debe comprobar los detalles con cuidado, pero lo que yo creo es que si el uso de las fórmulas en la página.347, o algo similar, el uso de menores de edad a escribir explícitamente la función inversa, además suprema de un número finito de derivados de $\phi(x)$ obtendrá un factor adicional de una potencia negativa de la menor autovalor de Hesse, si el apoyo de $\psi_1$ es lo suficientemente pequeño. En última instancia, sus constantes deben a ser una constante a veces un producto de: a) la suprema de un número finito de derivados de $\phi(x)$, b) un poder negativo de la menor autovalor de Hesse, y c) una función de el tamaño de el apoyo de $\psi_1$.

Usted no puede deshacerse de b),..., considere el caso donde la fase es sólo un polinomio cuadrático. Yo no puedo ver de improviso si hay una mejor manera de lidiar con la frecuencia de corte (o si te importa de todos modos).

Answer 2

A mediados de los 80, Jonathan Goodman y yo estudiamos una cuestión similar. Necesitábamos estimaciones suaves para un operador integral de Fourier, de modo que pudiéramos resolver EDP no lineales de tipo principal. En concreto, queríamos demostrar una incrustación isométrica local de una variedad riemanniana de 4 dimensiones.

Para ello, necesitábamos una versión finita, incluyendo un término de error explícito, de la expansión asintótica encontrada por Hormander de la parametriz (que es un operador integral de Fourier) de un operador diferencial de tipo principal real.

Lamentablemente, nunca publicamos el documento y ahora ni Jonathan ni yo tenemos una copia completa del mismo. Se escribió con un procesador de textos de Mac, ahora obsoleto (la ironía es que fui una de las primeras personas en escribir una tesis doctoral en TeX, pero luego lo abandoné por procesadores de textos con interfaz gráfica de Mac antes de volver a LaTeX). Si alguien tiene una copia por ahí, le agradecería que me la enviara.

De todos modos, aún puedo ofrecer algunos consejos bastante vagos al respecto. Sugiero que se intente trabajar con la prueba de la expansión asintótica pero utilizando una expansión de Taylor finita y la fórmula de error integral explícita para el polinomio de Taylor. Es especialmente instructivo trabajar primero la expansión de Taylor de 1 término con el término de error explícito, es decir, el teorema fundamental del cálculo. No sé si esto es del todo útil (ya que no conozco el teorema al que te refieres), pero a Jonathan y a mí nos funcionó de maravilla.

Answer 3

Después de indagar un poco, he localizado la exposición de su teorema 3.14/15 primero en Fedoryuk y luego en Erdelyi. Sin embargo, el tratamiento del problema por parte de Erdelyi es diferente al que usted necesita:

El objetivo principal del presente trabajo es proporcionar expresiones explícitas para los términos de error asociados a las expansiones de [4] a partir de las cuales se pueden calcular fácilmente límites realistas sean fácilmente calculables. Las derivaciones de Erdelyi no se prestan fácilmente a la construcción de límites de error debido a la naturaleza algo artificial de las funciones neutralizadoras empleadas en el análisis. Nuestro enfoque se basa en cambio en teoría de las integrales generalizadas de Hardy [7], [8].

Esto es de un documento de Olver disponible aquí . Aunque sólo trata el caso unidimensional, yo esperaría que te diera un punto de partida decente.

Answer 4

El siguiente artículo de Jorge Rezende trata un caso general del método de la fase estacionaria en un espacio de Hilbert. Se da una estimación del término "resto" de la serie asintótica en la que la dependencia de N es explícita. La expresión supone la convergencia absoluta de los momentos de la transformada de Fourier de a(x) y de la parte no cuadrática de phi(x).