Voy a utilizar las definiciones y los métodos de P. Freitas papel aquí. A veces me referiré al papel como $[\text{F}]$.
$K$ y $J$ funciones. Primero vamos a definir $K$ y $J$ funciones como las siguientes.
$$\begin{align}
K(r,p,q):=& \int_0^1\frac{\ln^r(x)\operatorname{Li}_p(x)\operatorname{Li}_q(x)}{x}\,dx, \\
J(m,p,q):=& \int_0^1 x^m\operatorname{Li}_p(x)\operatorname{Li}_q(x)\,dx.
\end{align}$$
Tenga en cuenta que $K(r,p,q)=K(r,q,p)$ y $J(m,p,q)=J(m,q,p)$. Además $K(0,p,q)=J(-1,p,q)$ y se podría reducir a racional constans y zeta valores enteros positivos, como vamos a mostrar en el Resultado de $2 dólares. Hay una forma mucho más general resultan unos $J$ en $[\text{F}]$ Teorema de $1$, que también podríamos simplificar racional constantes y zeta valores enteros positivos para cualquier $(m,p,q) \in \mathbb{Z}^3$, con $p,q\geq 1$ y $m \geq -2$.
Como has demostrado tu problema es equivalente a encontrar $K(1,2,2).$
$S_{p,q}$ de la función. Deje de $S_{p,q}$ ser parte de la familia de las siguientes sumas lineales
$$S_{p,q} := \sum_{n=1}^{\infty} \frac{H_n^{(p)}}{n^p},$$
donde $H_n^{(p)}:=\sum_{j=1}^n j^{p}$ finito de sumas son las generalizado armónica de los números.
Vamos a utilizar algunos de los resultados de Freitas' de papel.
Resultado $1$. Para el $K$ función es cierto, que
$$K(r,p,q)=rK(r-1,p,q+1)-K(r,p-1,q+1).$$
Para la prueba de ver $[\text{F}]$ Lema de $3.7$ en la página $9$, y la prueba de Teoremas $1$ y $2$ también en la página $9$. Mediante la aplicación de este repetidamente vemos que son capaces de reducir la original integral para las integrales de la forma $K(0,p',q')=J(-1,p',q')$ e integrales $K(i,0,p+q+r-i)$ con $i=1,\dots,r$.
Resultado $2$. Por $p,q \geq 1$ la integral $J(-1,p,q)$ es reducible a valores zeta. Si $p \geq q$, tenemos
$$J(-1,p,q) = (-1)^{q+1}\left(1+\frac{p+q}{2}\right)\zeta(p+q+1)+2(-1)^q\sum_{j=1}^{\lfloor q/2\rfloor} \zeta(2j)\zeta(p+q-2j+1)+\frac{(-1)^p}{2}\sum_{j=1}^{p-q} \zeta(j+q)\zeta(p-j+1).$$
Desde $J(-1,p,q)=J(-1,q,p)$ hay una expresión similar para $p<q$. Más detalles en $[\text{F}]$ Teorema de $3.3$ en la página $6\!-\!7$. También se encuentra la prueba de la declaración de allí.
Resultado $3$. También queremos simplificar $K(r,0,q)$, la expresión que aparece mientras se utiliza Resultado $1$. Para el caso cuando $w=r+q$ peso es incluso, hay una bonita expresión en $[\text{F}]$ Teorema de $3.1$ en la página $5$, con podemos simplificar $K(r,0,q)$. Lamentablemente, de acuerdo a $[\text{F}]$ no hay una expresión general en caso de que cuando $w=r+p$ es impar. Mientras que la evaluación de su integral vamos a ejecutar en este extraño caso. Pero, afortunadamente, no estamos completamente perdidos! Como $[\text{F}]$ Lema de $2.1$ en la página $4$, dice, hay una conexión entre $S_{r,q}$ y $K(r-1,0,p)$. Esta es la siguiente. Por $q,r \geq 2$ tenemos
$$S_{r,q}=\zeta(r)\zeta(q)-\frac{(-1)^{i-1}}{(r-1)!} \int_0^1 \frac{\ln^{r-1}(x)\operatorname{Li}_q(x)}{1-x}\,dx=\zeta(r)\zeta(q)-\frac{(-1)^{r-1}}{(r-1)!}K(r-1,0,q),$$
o expresar a $K(r-1,0,p)$ obtenemos
$$K(r-1,0,p)=(-1)^{1-r}(r-1)!\a la izquierda(\zeta(r)\zeta(q)-S_{r,q}\right).$$
También puedes encontrar la prueba en la página $4$.
La evaluación de su integral. En primer lugar vamos a utilizar el Resultado de $1$ dos veces. Primera vez por $K(1,2,2)$ y la segunda vez $K(1,1,3)$. Así
$$K(1,2,2)=-K(0,2,3)-K(1,1,3)=-\color{red}{K(0,2,3)}+\color{green}{K(0,1,4)}+\color{blue}{K(1,0,4)}.$$
La evaluación de $\color{red}{K(0,2,3)}$ y $\color{verde}{K(0,1,4)}$. A partir de la definición de $K$ y $J$ sabemos que $K(0,2,3)=J(-1,2,3)$ y $K(0,1,4)=J(-1,1,4)$. Ahora podemos utilizar el Resultado $2$. Yo sé que a usted no le gusta el uso de CAS, sino porque el Resultado de $2$ contiene sólo operaciones elementales, tales como finito de sumas, dejo este cálculo a Arce. He definido la siguiente función.
Je:=(p,q)->(-1)^(q+1)*(1+(p+q)/2)*Zeta(p+q+1)+2*(-1)^q*sum(Zeta(2*j)*Zeta(p+q-2*j+1),j=1..floor(q/2))+((-1)^q/2)*sum(Zeta(j+q)*Zeta(p-j+1),j=1..p-q);
Je(2,3) y Je(1,4) va a hacer el trabajo. El uso de Arce o calcaulate a mano tenemos
$$\begin{align}
J(-1,2,3)=&\frac{1}{2}\zeta^2(3), \\
J(-1,1,4)=&\frac{7}{4}\zeta(6)-\frac{1}{2}\zeta^2(3) = \frac{1}{540}\pi^6 - \frac{1}{2} \zeta^2(3).
\end{align}$$
La evaluación de $\color{blue}{K(1,0,4)}$. Porque $1+4=5$ es impar podríamos utilizar solo la conexión a $S_{2,4}$. Por Resultado $3$ obtenemos
$$K(1,0,4)=S_{2,4}-\zeta(2)\zeta(4).$$
Este papel por P. Flajolet y B. Salvy $[\text{FS}] dólares de los estados que
$$S_{2,4}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{H_n^{(2)}}{n^4} = \zeta^2(3)-\frac{1}{3}\zeta(6)=\zeta^2(3)-\frac{1}{2835}\pi^6.$$
Los detalles acerca lineal sumas también están en $[\text{FS}]$. En $[\text{FS}]$ Teorema de $3.1$ en la página de $22 dólares de los estados que hay una expresión para evaluar $S_{p,q}$ cuando $m=p+q$ peso es impar. Esta es una situación análoga a lo que hemos visto en Consecuencia $3$. Afortunadamente $[\text{FS}]$ página $22\!-\!23$ habla sobre el caso incluso, que es nuestro caso, por ahora, porque $2+4=6$ es par. El uso de este obtenemos
$$K(1,0,4)=\zeta^2(3)-\frac{1}{3}\zeta(6)-\zeta(2)\zeta(4)=\zeta^2(3)-\frac{25}{12}\zeta(6)=\zeta^2(3)-\frac{5}{2268}\pi^6.$$
Poniendo todo esto junto.
$$K(1,2,2)=-\color{red}{K(0,2,3)}+\color{green}{K(0,1,4)}+\color{blue}{K(1,0,4)}=-\color{red}{\frac{1}{2}\zeta^2(3)}+\color{green}{\frac{7}{4}\zeta(6)-\frac{1}{2}\zeta^2(3)}+\color{blue}{\zeta^2(3)-\frac{25}{12}\zeta(6)}=-\frac{\zeta(6)}{3}=-\frac{\pi^6}{2835},$$
y esto completa la prueba.
