¿Por qué es la primitiva de $\frac{1}{1+x^2}=\tan^{-1}(x)$?

Question

Mi libro dice la primitiva de $\frac{1}{1+x^2}$ $\tan^{-1}(x)$.

Para confirmar esto me tomé el derivado de $\tan^{-1}(x)$ esperando a $\frac{1}{1+x^2}$, pero por el contrario terminé con $-\frac{1}{\sin^2(x)}$. ¿Por qué es $\tan^{-1}(x)$ $\frac{1}{1+x^2}$ la primitiva si no se encuentra el derivado de $\tan^{-1}(x)$ $\frac{1}{1+x^2}$? ¿No el derivado de la primitiva de una función te da la función original?

Answer 1

$$\begin{align} \arctan(x) &= y\\ x &= \tan(y)\\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} x &= \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \tan(y)\\ 1 &= y' \sec^2(y)\\ y'&=\dfrac{1}{\sec^2(y)}\\ y'&=\dfrac{1}{\tan^2(y)+1}\\ y'&=\dfrac{1}{x^2 + 1} \end {Alinee el} $$

Porque $x = \tan(y)$

Answer 2

$$x=\arctan y$$ $$y=\tan x$$ $$\frac {dy}{dx}=\sec^2x=1+\tan^2 x=1+y^2$$

$$\frac {dx}{dy}=\frac {1}{1+y^2}$$

Answer 3

$$ y = \tan x $$ $$ \frac {dy} {dx} = \sec^2 x = 1 + \tan^2 x = 1 + y ^ 2 $$ $$ \frac{dy}{dx} = 1 + y ^ 2 $$ $$ \frac{dx}{dy} = \frac{1}{1+y^2} $$ $$ d \frac {dx} y \arctan = \frac 1 {1 + y ^ 2} $

¿Es el recíproco de $dy/dx$ % realmente $dx/dy$? Sin duda sería si $dy$ y $dx$ son números reales. El hecho de que son los demás recíproco es una instancia de la regla de la cadena.

Answer 4

En cuenta lo siguiente. $$ x=\tan(y)$$ $$dx = \sec^2(y)dy$$

Por lo tanto.

$$\int\frac{1}{1+x^2}dx=\int\frac{\sec^2(y)}{1+\tan^2(y)}dy$$ $$=\int\frac{\sec^2(y)}{\sec^2(y)}dy$$ $$=\int dy$$ $$=y+c$$ $$=\arctan(x)+c$$

Answer 5

Utilizando la fórmula para la serie geométrica, ${1\over 1 + x ^ 2} = 1-x ^ 2 + x ^ 4-x ^ 6 + \cdots + (-x ^ 2) ^ n + \cdots integración $$, $$\begin{align} \int 1-x^2+x^4-x^6+\cdots+(-x^2)^n+\cdots dx&=x-{x^3\over3}+{x^5\over5}-{x^7\over7}+\cdots\\ &=\arctan x\\ \end {alinee el} $$