¿Por qué es realmente única factorización en la localización de una UFD?

Question

Estaba leyendo Arturo Magidin la respuesta de aquí, que establece que la localización de un UFD sobre un subconjunto multiplicativo que no contengan $0$ es todavía un UFD. Tiene sentido que una factorización en unidades y irreducibles existe, pero no veo la singularidad.

Lo dice de la siguiente manera por la cruz multiplicando y el uso de las reivindicaciones. Ok, dejo $a/s\in S^{-1}D$. Puedo factor en irreducibles $$ \frac{a}{s}=\frac{p_1}{s_1}\cdots\frac{p_n}{s_n}=\frac{q_1}{t_1}\cdots\frac{q_m}{t_m}. $$ Si me crossmultiply puedo obtener diferentes tipos de condiciones en todo el lugar y no sé qué comparar?

Answer 1

Recuerde que la factorización en una unidad flash usb sólo es único hasta la multiplicación por unidades.

Si usted tiene $a=s\cdot \prod \frac{p_i}{s_i}$ donde $\frac{p_i}{s_i}$ son irreductibles, a continuación, ${p_i}$ también debe ser irreductible en la localización, podemos suponer sin pérdida de generalidad que son irreductibles en el original anillo (si es necesario alejarse de sus factores de $S$ a $s$), y ha $a\cdot \prod s_i=s\prod p_i$.

A continuación,$p_i$, junto con los factores irreducibles de $s$, factor de $a\cdot \prod s_i$ en irreductible términos. Algunos de ellos provienen de la factorización de $\prod s_i$, y los que son unidades en la localización de todos modos (ya que su producto es una unidad) y, como tal, realmente no importa, de igual forma los factores procedentes de $s$, y otros provienen de la factorización de $a$ y los que se determina únicamente a la equivalencia en el original anillo, y más aún en la localización (como es más fácil ser equivalente con más unidades).

Answer 2

Basta para mostrar los números primos $\,p\,$ $D\,$ que no se asignan a las unidades en $\,E = S^{-1}D\,$ siendo el primer en $E.$

Pero que es fácil de probar. $ $ Supongamos $\ \dfrac{p}u {\biggm|} \dfrac{a}s\dfrac{b}t.\ $$\ \dfrac{p}u \dfrac{c}v\, =\, \dfrac{a}s\dfrac{b}t\ \,$$\,\ pcst\, =\, abuv$.

Desde $\,p\,$ es el primer en $D,\,$ deducimos $\,p\,$ se divide una de $\,a,b,u,v.\,$ Pero si $\,p\mid u\,$ o $\,p\mid v\,$$D\,$, que sigue siendo cierto en $E\,$, por tanto, ser un factor de unidad en $E,\,$ deducimos $\,p\,$ es una unidad en $E,\,$ contra la hipótesis. Por lo tanto $\,p\mid a\,$ o $\,p\mid b\,$ $D,\,$ así también en $E,\,$ $\,p/u\mid a/s\,$ o $\,p/u\mid b/t,\,$ por lo tanto $\,p\,$ sigue siendo el primer en $E.$