¿Cómo decido qué problemas y cuántos problemas hacer cuando intento estudiar por mi cuenta?

Question

Estoy estudiando matemáticas en una universidad relativamente pequeña y apenas tengo opciones de clases para elegir, así que tengo que complementar mis estudios con mucho autoestudio.

Por lo general, no tengo ningún problema para pasar los capítulos y entender "la mayor parte" de lo que sucede en ellos. Por ejemplo, Álgebra Abstracta de Dummit y Foote. Intenté estudiar este texto durante mis vacaciones de verano. Pasé todo el verano estudiando el texto leyendo cada sección desde la sección preliminar hasta aproximadamente la sección 2.3. Es decir, pasé 4 meses y apenas pasé 2 capítulos. En mi propia defensa de lo que tardé en pasar por los 2 capítulos que pasé más o menos, resolví todos los ejercicios del texto (incluyendo los ejercicios de los capítulos preliminares) hasta todos los ejercicios del 2.3.

Mi pregunta es: ¿cómo sé cuándo vale la pena hacer un problema? A menudo, me quedo atascado en un problema durante horas y, cuando lo resuelvo, resulta ser sorprendentemente sencillo. ¿Existe un límite de tiempo que deba fijarme antes de pasar al siguiente ejercicio? Si me salto un ejercicio, ¿cuándo debo volver a él?

Answer 1

Creo que si te quedas atascado en un problema tu mejor opción es seguir adelante y volver al problema más tarde: probablemente entonces te parecerá bastante fácil.
De todas formas si no avanzas nunca llegarás a nada porque siempre habrá algún problema "fácil" (¿pero quién lo dice?) que no podrás hacer.
Se supone que las matemáticas están ordenadas linealmente, pero eso no es más que una educada ficción que el equipo de Bourbaki y sus decenas de extraordinarios miembros no pudieron materializar en 50 años.
Nadie (y eso incluye a Deligne y Grothendieck , dos de los más grandes matemáticos de todos los tiempos) sólo utiliza las matemáticas que ha comprobado completamente.
Dummit-Foote es un gran libro, pero ciertamente no es necesario conocer todo el material que contiene, y menos aún resolver todos los ejercicios.
El contenido del libro es excelente, pero en parte fue elegido por una decisión arbitraria de los autores basada en sus gustos y estética: se puede obtener una medalla Fields sin conocer la clasificación de los grupos de orden $p^3$ ¡!
Tu mejor opción es leer lo que te atrae, hacer algunos ejercicios accesibles (tendrás que aprender a decidir cuáles son) e intentar llegar a alguna sección sustancial, teniendo en cuenta que puedes volver después a cualquier punto que quieras (¡tu libro no se autodestruirá!)
Este es un consejo profesional: He visto a demasiados estudiantes en la vida real y en sitios como éste quedarse atascados en la página 15, capítulo 1 de su libro y no llegar nunca al verdadero meollo del asunto.

Buena suerte e intente llegar, por ejemplo, a Anillos Conmutativos y Geometría Algebraica (capítulo 15): ¡el jardín del Edén le mostrará sus maravillas!
[Por supuesto, puedes fijarte otro objetivo, siendo la Teoría de Galois un maravilloso ejemplo].

Answer 2

Si te quedas atascado en un problema sencillo durante horas, entonces, en mi opinión, el peor que podrías hacer es pasar al siguiente capítulo. En matemáticas, es muy difícil entender los conceptos avanzados sin un dominio muy firme de los básicos, así que pasar a un capítulo más avanzado sin una buena comprensión de los básicos (nota: una buena comprensión de los básicos incluye la capacidad de identificar un simple problema cuando lo ves) parece una idea terrible.

Sin embargo, entiendo su pregunta. Suele ser muy difícil juzgar tus propios conocimientos, y hagas lo que hagas, eso seguirá siendo un problema. Lo mejor que puedes hacer es buscar un compañero de estudio y estudiar junto a él, haciendo que corrija tus soluciones y tú corrijas las suyas o algo parecido...

Answer 3

Todo el mundo dice que las matemáticas construyen conceptos avanzados sobre conceptos básicos, pero la verdad es que a veces hay más de una manera de construir un concepto y los autores no siempre te dan pistas sobre cómo están construyendo los conceptos, por lo que es muy difícil que sepas si en un ejercicio en particular están tratando de darte un concepto que necesitas para entender la siguiente sección o si simplemente están señalando algún desvío interesante (aunque algunos autores marcan algunos ejercicios como opcionales).

Tal vez un límite de tiempo te ayude, pero mi consejo es que en cuanto te sientas atascado en un problema, busques una segunda perspectiva, como por ejemplo en otro libro sobre el mismo tema, o en tus profesores. Quizá el primer libro pasó por alto fugazmente algún detalle pequeño pero importante que te causó confusión, y quizá otro libro lo explique adecuadamente.