Los dos problemas tienen básicamente la misma técnica. Nos fijamos en la primera, que es un poco más difícil.
Primero vamos a discutir de manera informal. Tenga en cuenta que $\sqrt{2n-1}$ en el largo plazo se comporta como $\sqrt{2}\sqrt{n}$. Ya que no se preocupe acerca de constantes, digamos que se comporta como $\sqrt{n}$.
La parte inferior se comporta como $n^2$, lo $\frac{\sqrt{2n-1}}{n(n+1)}$ se comporta como $\frac{1}{n^{3/2}}$.
El plazo $\ln(4n+1)$, en el largo plazo, crece muy lentamente, más lentamente que cualquier potencia de $n$. Así, en el largo plazo, en particular, crece más lentamente que el $n^{1/4}$. Por lo tanto, en el largo plazo, nuestra expresión original va a $0$ más rápido que el de $\frac{1}{n^{5/4}}$.
Pero $\sum_1^\infty \frac{1}{n^{5/4}}$ converge. De ello se sigue que nuestro original de la serie converge.
En esencia, en $\frac{1}{n^{3/2}}$, el exponente $3/2$ es lo suficientemente grande para garantizar la convergencia. Así que coge un $n^{1/4}$ a partir de que a "matar" la $\ln(4n+1)$ plazo. Eso nos deja con $\frac{1}{n^{5/4}}$, que todavía va a $0$ lo suficientemente rápido.
Ahora es el momento de recurrir a la anterior en una más formal argumento, decir utilizando el Límite de la Prueba de Comparación. Deje $a_n$ $n$- ésimo término de la serie. Nos muestran que
$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{\frac{1}{n^{5/4}}}=0.$$
Desde $n^{5/4}=n^{3/2}/n^{1/4}$, queremos mostrar que
$$\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{2n-1}\,n^{3/2}}{n(n+1)}\frac{\ln(4n+1)}{n^{1/4}}=0.$$
Podemos utilizar la Regla de L'Hospital de mostrar que $\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(4n+1)}{n^{1/4}}=0$.
Las técnicas estándar muestran que
$$\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2n-1}\,n^{3/2}}{n(n+1)}=\sqrt{2}.$$
Esto completa el Límite de Comparación argumento.
