Un ideal es homogéneo si y sólo si puede ser generada por elementos homogéneos

Question

Deje $S$ ser gradual anillo con la descomposición $S = \bigoplus_{d \geq 1} S_d$, donde el $S_d$ son aditivos abelian grupos que $S_d S_e \subseteq S_{d+e}$$e,d \geq 1$. Un elemento en $S_d$ se llama un elemento homogéneo de grado $d$. Ideal $\mathfrak{a}$ $S$ está definido para ser homogéneo si $\mathfrak{a} = \bigoplus_{d\geq 1} (\mathfrak{a}\cap S_d)$.

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Estoy tratando de probar que un ideal $\mathfrak{a}$ $S$ es homogéneo, si y sólo si puede ser generado por homogéneos.

Si $\mathfrak{a}$ es homogénea ideal, a continuación, $\mathfrak{a} = \bigoplus_{d\geq 1} (\mathfrak{a}\cap S_d)$ y que es generado por $\bigcup_{d \geq 1} (\mathfrak{a} \cap S_d)$, que es un conjunto homogéneo de elementos.

Estoy seguro acerca de la otra dirección, sin embargo. Supongamos $\mathfrak{a}$ es un ideal generado por un conjunto $H$ homogéneo de elementos en $S$, decir $H = \bigcup_{d \geq 0} H \cap S_d$. A continuación,$ \displaystyle \mathfrak{a} = \left\{ \sum_{h_i \in H} r_i h_i \big| \ \mathrm{finitely \ many} \ r_i \in S \ \mathrm{are \ non-zero} \right\}$. Dado un elemento $a \in \mathfrak{a}$, por lo tanto, podemos escribir $a = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} r_i h_i$$r_i \in S, \ h_i \in H$. Pero también podemos escribir $r_i = \displaystyle \sum_{j=1}^{m_{i}} \alpha_{i,j}$ por cada $i$ donde $\alpha_{i,j} \in S_d$ algunos $d$. Así que tenemos que $ \displaystyle a = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{m_i} \alpha_{i,j}h_i$. Pero dado que cada una de las $\alpha_{i,j}$ y cada una de las $h_i$ son homogéneos, y el $S_i$ son aditivos abelian grupos, tenemos que $ \displaystyle a = \sum_{i=1}^k t_i$ donde $t_i$ son homogéneos.

¿Por qué son las $t_i$ necesariamente en $\mathfrak{a}$? Me disculpo si la notación he usado provoca dificultades en la raíz de lo que estoy haciendo o respondiendo a mi pregunta. En particular, me doy cuenta de que he perdido algo de información: sabemos con precisión cuál de las $S_i$$t_j$, y también sabemos que $k = p \ \mathrm{max}_i \ m_i $ donde $p$ es el mayor $i$ tal que $r_j$ está contenido en $S_i$ algunos $j$.

Gracias

Answer 1

Creo que eres de perderse en su notación. Usted necesita escribir el elemento $a$ como una suma de elementos que pertenecen a $\mathfrak a\cap S_d$. Pero este es ya el caso, porque cada una de las $h$ pertenece a $\mathfrak a\cap S_d$.

Así que aquí está cómo iba a escribir esto:

Suponga $\mathfrak a$ es generado por homogéneos, decir $\mathfrak a = \langle \bigcup_{i\geq 1}H_i \rangle$ (*), donde $H_i\subseteq S_i$. Entonces para cualquier $a\in\mathfrak a$, existe una colección de $\{r_h\mid h\in H\}$ (sólo un número finito de ellos distinto de cero) tal que

$$ a = \sum_{h\in H} r_h h = \sum_{i\geq 1} \sum_{h\in H_i} r_h h \in \bigoplus_{i\geq 1} (\mathfrak a\cap S_i). $$

Debo explicar por qué el "$\in$" sostiene: podemos escribir cada una de las $r_h$ $r_h = \sum_{j\geq 1} r_{h,j}$ donde$r_{h,j}\in S_j$$h\in H_i$$r_{h,j}h\in S_{i+j}$. Pero, por otro lado, $h\in \mathfrak a$, y por lo tanto $r_{h,j}h\in r_{h,j}\mathfrak a\subseteq a$, debido a $\mathfrak a$ es un ideal. Por lo tanto,$r_{h,j}h \in \mathfrak a \cap S_{i+j} $.

Ya que esto es válido para cualquier $a\in\mathfrak a$, tenemos que $$ \bigoplus_{i\geq 1}(\mathfrak a\cap S_i) \subseteq \mathfrak a \subseteq \bigoplus_{i\geq 1}(\mathfrak a\cap S_i), $$ (la primera inclusión es trivial, y a los segundos se sigue de la anterior). Esto significa que ambos son iguales y $\mathfrak a$ es homogénea.

(*) Por $\langle X\rangle$ me refiero: se generan como un ideal. Así que estos son todos los elementos de la forma$\sum_{x\in X} r_x x$, $r_x = 0$ en casi todas las $x$.)