Estoy teniendo problemas para entender la prueba dada en clase, que el ideal de la clase de grupo de finito algebraicas extensión es finita.
Aquí es (con mis preguntas):
En primer lugar, un lexema: Cualquier clase de ideales en $Cl(K)$ contiene un representante de $L$ que $\mathcal{O}_K \subset L$$[L:\mathcal{O}_K]<(\frac{4}{\pi})^{r_2}\cdot\frac{n!}{n^n}\cdot\sqrt{|Disc(\mathcal{O})|}$.
Prueba:
Ya estoy confundido porque la prueba no comienza por tomar una clase determinada en $Cl(K)$ así que no entiendo su estructura.
Tomar un entramado $M$ $K$ tal que $\mathcal{O}_K=\mathcal{O}(M)$ donde $\mathcal{O}(M)=\{x\in K \mid xM \subset M\}$.
¿Por qué $M$ existen?
W. L. O. G tenemos $M \subset \mathcal{O}_K$ (estoy bien con este paso ya podemos multiplicar $M$ por algunos escalar a hacer lo mismo). Por Minkowski del teorema, tenemos $|Nm_{K/\mathbb{Q}}|\leq (\frac{4}{\pi})^{r_2}\cdot\frac{n!}{n^n}\cdot\sqrt{|Disc(\mathcal{O}_K)|}\cdot[\mathcal{O}_K:M]$.
Cuando hice el $[\mathcal{O}_K:M]$ factor? Yo no lo veo en Minkowski del teorema.
Por lo $\alpha\mathcal{O}_K \subset M$ porque $M$ es a la vez una rejilla y un anillo.
No entiendo esta implicación.
Tome $L=\alpha^{-1}M$.
Ya que no empezamos con una clase específica, no entiendo lo que esta $L$ tiene que ver con nada.
Ahora tenemos $[\alpha^{-1} M:\mathcal{O}]\leq[\alpha^{-1}M:M]=|Nm_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)|\leq (\frac{4}{\pi})^{r_2}\cdot\frac{n!}{n^n}\cdot\sqrt{|Disc(\mathcal{O})|}$.
Que termina la prueba del lema. La prueba del teorema en sí es más claro.
