Diagonalización de la Métrica de Riemann y la de Laplace Beltrami Operador

Question

Considere la posibilidad de la representación local de la Laplace Beltrami operador en una de Riemann n - dimensional colector $(M,g)$: \begin{equation} \triangle_g = \frac{1}{\sqrt{\text{det}(g)}} \sum^n_{i,j = 1} \frac{\partial}{\partial x^i} g^{ij} \sqrt{\text{det}(g)}\frac{\partial}{\partial x^j} \end{equation}

Hace algún tiempo leí en algún libro de texto que uno puede, a nivel local en cualquier punto de $p \in M$, elija una lo suficientemente pequeño vecindario $U \subset M$, de modo que por una transformación lineal de las coordenadas de la representación de la matriz de $g$$U$$g_{ij} = \delta_{ij}$.

Pero, ¿no implica esto que la expresión anterior siempre que se simplifica a la expresión \begin{equation} \triangle_g = \sum^n_{i = 1} \frac{\partial^2}{\partial (x^i)^2} \quad ? \end{equation}

Alternativamente, yo creo que aunque la métrica evalúa a la delta de Kronecker que no significa que sus derivadas son cero. Así que lo que hacemos realmente, a continuación, han

\begin{equation} \triangle_g = \sum^n_{j = 1} \frac{\partial^2}{\partial (x^j)^2} + \sum_{j = 1}^n ( \frac{\partial}{\partial x^j} \sqrt{\text{det}(g)} + \sum_{i = 1}^n \frac{\partial}{\partial x^i} g^{ij})\frac{\partial}{\partial x^j} \end{equation}

Estoy seguro de que al menos uno de mi impresión es falsa, si alguien puede ayudar a señalar lo que tengo mal, o se refieren a una referencia en el que se podía leer acerca de diagonalización de métricas que sería muy útil, muchas gracias !

Answer 1

De hecho, el siguiente es cierto: En cualquier punto de $p$, existe un entorno $U$ $p$ tal que $g_{ij}=\delta_{ij}$, la delta de Kronecker, y $\displaystyle\frac{\partial g_{ij}}{\partial x_k}$ $p$ es cero. (Es importante tener en cuenta que $\displaystyle\frac{\partial g_{ij}}{\partial x_k}$ sólo se desvanece en $p$, no en un barrio; de lo contrario, tiene curvatura constante.) Si recuerdo correctamente, esto se llama normal de coordenadas. Si usted lee el libro de Geometría de Riemann de Do Carmo, usted necesita demostrar la existencia de la normal de coordenadas en un ejercicio. Tal vez en otros libros tienen la prueba.

De todos modos, en la normal de coordenadas, como se ha calculado, tenemos \begin{equation} \triangle_g = \sum^n_{j = 1} \frac{\partial^2}{\partial (x^j)^2} + \sum_{j = 1}^n ( \frac{\partial}{\partial x^j} \sqrt{\text{det}(g)} + \sum_{i = 1}^n \frac{\partial}{\partial x^i} g^{ij})\frac{\partial}{\partial x^j}. \end{equation} Debido a $\displaystyle\frac{\partial g_{ij}}{\partial x_k}=0$$p$, el segundo término se desvanece. Así en el punto de $p$, la de Laplace Beltrami operador está dado por \begin{equation} \triangle_g = \sum^n_{i = 1} \frac{\partial^2}{\partial (x^i)^2}. \end{equation}

Answer 2

Esta pregunta es, en parte, sobre la métrica y cómo diagonalize, así que permítanme centrarme en esto. Creo que algunos amphiboly está presente aquí: uno debe ser cuidadoso para distinguir entre las coordenadas y coordenadas.

Por "normal coordenadas", uno de los medios realmente, elegir un ortonormales de base para la tangente paquete de más de un vecindario sobre $p$. Como Zhen Lin señala, la obstrucción a la integración de esta base de coordenadas es la curvatura. Tal ortonormales base es también llamado un tetrad o un verbein.

El contraste de estas normales "coordenadas" a un sistema de coordenadas alrededor de $p$ en el sentido de un buen colector, un homeomorphism entre un vecindario acerca de $p$$\mathbb{R}^n$. Coordinar campos vectoriales corresponden a las imágenes de la coordenada campos vectoriales en $\mathbb{R}^n$ bajo este mapa. Estos campos son, por supuesto, una base local para $TM$, pero no todas las bases para $TM$ puede ser integrado a las coordenadas.

Así, "coordenadas" significa dos cosas diferentes: "base local para $TM$" si estamos hablando de tensor de cantidades, o "locales" homeomorphism a $\mathbb{R}^n$" de lo contrario.