¿Cómo se puede mostrar que, salvo por el primer presidente de la brecha (entre $2$$3$), todos de primer brechas son aún?
El primer gap se refiere a la diferencia de dos números primos consecutivos. Por ejemplo: $5-3=2$ (incluso) o $17-13=4$ (incluso) o $23-19=4$ (aún).
No tengo idea de cómo empezar.
$1$. El único primo par es $2$ y todos los demás son impares, números primos.
$2$. La diferencia entre dos números impares es siempre igual.
Publicado por primera vez como sugerencia pero ahora @Cato le pidió una prueba de lo que aquí vamos:
La prueba de $1$:
Supongamos que existe otro prime que es incluso (aparte de $2$), entonces debe ser de la forma $2k$ donde $k$ ser un entero positivo, por lo que el primer número puede ser escrito como $2 \times k$ lo cual es suficiente para decir que es compuesto (O no primo). Una contradicción.
La prueba de $2$.
Como se sabe (no creo que también es necesario una prueba), cada número impar es de la forma $2k+1$ donde $k$ es un número entero. Sólo tenemos que calcular la diferencia de b/w dos impares, números primos (acordaos de la palabra impar) así que vamos primero ser$2k_1+1$, y la segunda uno de los ser $2k_2+1$. Diferencia $= (2k_2+1-(2k_1+1))= 2k_2-2k_1=2(k_2-k_1)=$ número par.
Creo que es suficiente. :) :)
Puesto que todos los números primos con la excepción de $2$ son impares, entonces, si un primer gap $g$ entre primos $p_1,p_2$ sería extraño, entonces, $p_2=p_1+g$ sería la suma de dos números impares que es aún, y dado que la única prime que es incluso es igual a $2$, con lo que podemos conseguir la deseada contradicción.
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