El máximo de la suma de finito módulo de analítica de la función.

Question

Deje $f_1,f_2,\ldots,f_n$ ser analítico de funciones complejas en el dominio $D$. y $f = \sum_{k=1}^n|f_k|$ no es constante.

Puedo mostrar el máximo de $f$ sólo aparece en el límite de las $D\,$?

Answer 1

Supongamos por contradicción que el máximo de $f$ es un punto interior $z_0$.

Escribir

$$f_i(z_0)= |f_i(z_0)| \omega_i \,,$$

con $\omega_i$ de la unidad.

Deje $g(z):= \sum_i \overline{\omega_i} f_i(z) \,.$

Entonces, para todos los $z \in D$

$$| g(z)| = \left| \sum_i \overline{\omega_i} f_i(z) \right| \leq \sum_i \left| \omega_i f_i(z) \right| =f(z) \leq f(z_0)= g(z_0) = |g(z_0)|\,.$$

Ahora aplique el máximo módulo de principio a $g(z)$, y utilice el hecho de que si $g$ es constante, a continuación, $|g(z)| \leq f(z) \leq g(z_0)$ implica $f$ es constante.

Answer 2

Sí: $|f_k|$ es un subarmónicos de la función en $\Omega$, una suma de subarmónicos funciones de subarmónicos, y subarmónicos de la función no puede tener un máximo local en la conexión de un conjunto abierto sin ser constante.