Calcular el cuadrado de la recíprocos de la aritmética de la serie

Question

Deje $n>0$ ser un número entero. Es posible calcular el valor de la suma

$$1+\frac1{(1+n)^2}+\frac1{(1+2n)^2}+\ldots$$?

Answer 1

Lo que sigue no es una forma cerrada, sino una representación distinta. La serie parte de la suma es $$S(x) = \sum_{k\ge 1} \frac{1}{(1+kx)^2}$$ evaluados en $x=n.$

La suma plazo es armónico y puede ser evaluado por la inversión de sus Mellin transformar.

Recordar que el armónico suma de identidad $$\mathfrak{M}\left(\sum_{k\ge 1} \lambda_k g(\mu_k x);s\right) = \left(\sum_{k\ge 1} \frac{\lambda_k}{\mu_k^s} \right) g^*(s)$$ donde $g^*(s)$ es la transformada de Mellin $g(x).$

En el presente caso tenemos $$\lambda_k = 1, \quad \mu_k = k \quad \text{y} \quad g(x) = \frac{1}{(1+x)^2}.$$ Necesitamos la Mellin transformar $g^*(s)$ $g(x)$ que es $$\int_0^\infty \frac{1}{(1+x)^2} x^{m-1} dx = \left[- \frac{1}{1+x} x^{m-1} \right]_0^\infty + (s-1) \int_0^\infty \frac{1}{1+x} x^{s-2} dx.$$ El término entre corchetes se desvanece para $1<\Re(s)<2.$ Ahora el Mellin transformar $h^*(s)$ $h(x) = \frac{1}{1+x}$ es fácilmente visto a obedecer (contorno de integración con un ojo de la cerradura de contorno, la ranura en el eje real positivo) $$h^*(s) (1-e^{2\pi i (s-1)}) = 2\pi i\times \mathrm{Res}\left(\frac{1}{1+x} x^{m-1} ; x=-1 \right)$$ lo que da $$h^*(s) = \frac{2\pi i}{1-e^{2\pi i s}} e^{i\pi (s-1)} = - \frac{2\pi i}{1-e^{2\pi i s}} e^{i\pi s} = - \pi \frac{2}{e^{-i\pi s}-e^{i\pi s}} = \frac{\pi}{\sin(\pi s)}.$$ De ahí el Mellin transformar $g^*(s)$ $g(x)$ tiene la forma $$g^*(s) = (s-1) \frac{\pi}{\sin(\pi (s-1))} = (1-s) \frac{\pi}{\sin(\pi s)}.$$ La armónica de la suma de la identidad implica entonces que el Mellin transformar $Q(s)$ $S(x)$ está dado por $$(1-s) \frac{\pi}{\sin(\pi s)} \zeta(s) \quad\text{porque}\quad \sum_{k\ge 1} \frac{\lambda_k}{\mu_k^s} = \zeta(s).$$ El Mellin de inversión integral para este caso es $$\frac{1}{2\pi i}\int_{3/2-i\infty}^{3/2+i\infty} Q(s)/x^s ds.$$ Ahora que la inversión de la transformación en la mitad derecha del plano para obtener una expansión sobre el infinito, tenemos que de los polos en $q\ge 2$ la suma de sus residuos es $$S(x) = -\sum_{q\ge 2} (1-q) (-1)^q \zeta(q) / x^q.$$ Esto produce por la suma original de la representación $$1+ \sum_{q\ge 2} (q-1) (-1)^q\zeta(q) \frac{1}{n^q},$$ convergente para $n>1.$

Answer 2

Para $n > 0$ (ya sea entero o no es irrelevante) $$\sum_{j=0}^\infty \dfrac{1}{(1+jn)^2} = \dfrac{1}{n^2} \Psi'(1/n)$$ donde $\Psi$ es la función Digamma. Los valores conocidos incluyen $$ \eqalign{n = 1, y suma = \dfrac{\pi^2}{6}\cr n = 2, y suma = \dfrac{\pi^2}{8}\cr n = 4, y suma = \dfrac{\pi^2}{16} + \dfrac{{\rm catalán}}{2}\cr}$$

Answer 3

¿Qué acerca de $$\sum_{n=0}^\infty\sum_{j=0}^\infty \dfrac{1}{(1+jn)^2} = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n^2} \Psi'(1/n)?$$