Mostrando las integrales iteradas $$ \int_ {[0,1]} \left [ \int_ {[0,1]} \frac {x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dx \right ]dy \quad\text {and} \quad\int_ {[0,1]} \left [ \int_ {[0,1]} \frac {x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dy \right ]dx$$ son diferentes no es demasiado difícil, así que esto ciertamente implica $f(x,y) \notin L^1([0,1]^2)$ (de lo contrario sería un contraejemplo del Teorema de Fubini), así que ¿cómo mostramos que $$ \iint_ {[0,1]^2}|f|\;dx\:dy= \infty ?$$ He estado pensando en esto, pero mi intuición siempre me lleva a las integrales iteradas. Cualquier ayuda sería apreciada para guiarme en la dirección que debo tomar.
Respuesta
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Como dice Deven Ware, esto sigue del contrapositivo de Fubini. Pero también podemos mostrarlo directamente.
Deje que $D$ ser la forma de "cuña de pastel" $\{ (x,y) : x^2+y^2 \leq 1,\ x \geq y \}$ . Esto es un octavo de un círculo, contenido en el cuadrado de la unidad. Mostraremos que $ \int_D \left | \frac {x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} \right | dx dy$ es infinito; la integral sobre el cuadrado será entonces aún más grande. En el dominio $D$ Tenemos $x \geq y$ por lo que el signo de valor absoluto no tiene efecto. Ahora cambiamos a las coordenadas polares: $$ \int_D \frac {x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2} dx dy = \int_ {r=0}^1 \int_ { \theta =0}^{ \pi /4} \frac {r^2 ( \cos ^2 \theta - \sin ^2 \theta )}{r^4} r dr d \theta. $$ (Si su función estaba en $L^1$ entonces creo que este cambio de coordenadas sería legítimo. Debo admitir que ha pasado mucho tiempo desde que hice un análisis real, así que compruébalo.)
Así que queremos calcular $$ \int_0 ^1 \frac {dr}{r} \int_ { \theta =0}^{ \pi /4} \cos ( 2 \theta ) d \theta. $$ El segundo factor es $1/2$ así que tienes $ \frac {1}{2} \int_ {r=0}^1 dr/r$ que es claramente infinito.
Para otro enfoque, véase Wikipedia .
