¿Cómo determinar las longitudes de los lados de un polígono irregular cuando se conocen todos los ángulos interiores?

Question

1. Dado un polígono irregular donde todos de la ángulos ¿cuántas longitudes de lados hay que conocer, como mínimo, para determinar la longitud de los lados restantes?

2. Dados todos los ángulos y el número necesario de longitudes laterales, ¿cómo calcular realmente la longitud lateral restante?

Ejemplo: los ángulos interiores de un polígono de 5 lados sumarán 540 grados. ((5-2)*180=540) .

Dados los siguientes ángulos interiores:

AB 140 degrees
BC 144 degrees
CD 78 degrees
DE 102 degrees
EA 76 degrees

Y sabiendo que el lado A mide 12 unidades, ¿podemos determinar las longitudes de los lados restantes? ¿O se necesitan más longitudes de lado?

ACTUALIZACIÓN:

Como se necesitan tres longitudes de lado consecutivas de una figura de cinco lados, añado aquí tres lados para poder ver un ejemplo de cómo se hacen los cálculos para los dos lados restantes:

Side A = 27 7/8"
Side B = 7"
Side c = 13 1/4"

Answer 1

Para un $n$ polígono de lados, necesitas todos los ángulos en orden y $n-2$ longitudes de lado consecutivas para construir el polígono. Así, necesitas las longitudes de los lados $B,C$ o $E,B$ o $D,E$ para construir su polígono.

La mejor forma de averiguar la longitud del lado restante es trazando diagonales y aplicando las leyes de los triángulos (regla del seno o del coseno).

Consideremos el pentágono (muy mal dibujado). No está dibujado a escala, pero puedes hacerte una idea. Estos son los pasos a seguir para averiguar las longitudes de $D,E$ .

1.Averiguar la longitud de $X$ utilizando la regla del coseno en $\Delta ABX$ .

2.Conocer $\angle a,X,A,B$ Descubra $\angle e,\angle b$ utilizando la regla del seno.

3. $\angle c = \angle\mbox{(between B,C)} -\angle b$ . Así que.., $\angle c$ es conocido.

4.Repita todo el procedimiento para $\Delta CXY$ . Descubre $Y,\angle d, \angle f$ .

5. $\angle g, \angle h$ se calculan ahora fácilmente.

6. $\angle i$ es conocido. Aplicar la regla del seno en $\Delta DEY$ para averiguar $D,E$ -los dos lados desconocidos.

Answer 2

Aquí tienes una forma sencilla de calcular el número de lados necesarios: traslada arbitrariamente uno de los puntos de tu polígono al origen y alinea su primer lado a lo largo del positivo $x$ debería ser intuitivamente obvio (aunque es un poco más difícil de demostrar) que esto utiliza todos los grados de libertad que están disponibles en las isometrías del plano. Una vez hecho esto, como hemos fijado la "raíz" de la figura en el origen, tenemos $(x_0, y_0) = (0, 0)$ ) y colocando el primer lado a lo largo del $x$ eje nos ha dado $y_1 = 0$ por otro lado, debería estar claro (aunque, de nuevo, es un poco difícil de demostrar) que todas las demás coordenadas $\{(x_i, y_i): 1\leq i\leq n-1\}$ del polígono son esencialmente indeterminados. Esto significa que hay $2(n-1)-1 = 2n-3$ grados de libertad disponibles para describir el polígono. (Alternativamente, se puede pensar en esto como el $2n$ grados de libertad inherentes a $n$ $2$ -menos los puntos $3$ grados de libertad en isometrías del plano). Puesto que hay $n-1$ grados de libertad en los ángulos del polígono (la suma de los ángulos es constante, lo que suprime un grado de libertad), entonces un grado de libertad adicional $(2n-3)-(n-1) = n-2$ es decir, la longitud de todos los valores excepto $2$ lados - para eliminar todos los grados de libertad y especificar completamente el polígono.