Estoy confundido sobre la notación de las representaciones de $\mathfrak{su}(3)$ . A menudo se utiliza un número en negrita para denotar una representación particular, por ejemplo. $\mathbf{3}$ se utiliza para denotar la representación fundamental y $\mathbf{8}$ denota la representación adjunta. Presumiblemente, esta notación sólo se justifica si existe una representación única de una dimensión determinada, $n$ y entonces podemos denotar esta representación por $\mathbf{n}$ . No sé cómo probar esto si es cierto. Si no es cierto, entonces qué significa la representación $\mathbf{n}$ ?
Respuesta
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No es cierto que una representación (finitamente dimensional y compleja) de $\mathfrak{su}(3)$ se determina por su dimensión. De hecho, como señala James Cook en los comentarios, la representación definitoria $V$ (que creo que es la representación que denota $\mathbf{3}$ ) y su dual $V^{\ast}$ no son isomorfas. Una forma de ver esto es que las representaciones correspondientes de $\text{SU}(3)$ no son isomorfas porque tienen diferentes caracteres .
Así que creo que se trata de una convención de anotación como se sospecha en los comentarios. Es cierto que las representaciones de $\mathfrak{su}(2)$ se determinan por su dimensión, así que tal vez de ahí venga la convención. Por cierto, la teoría de la representación de todas estas álgebras de Lie clásicas se entiende perfectamente; abra cualquier libro de texto sobre el tema para encontrar los enunciados generales.
