¿Podemos dar una definición de la cotangente basada en una ecuación funcional?

Question

Recientemente he aprendido que la cotangente satisface la siguiente ecuación funcional:

$$\dfrac1{f(z)}=f(z)-2f(2z)$$

(verdadero para $f(z)\neq 0$ ).

Podemos resolver esta ecuación para funciones reales o complejas $f?$ ¿Podemos dar condiciones adicionales para que $\cot$ es la única función real o compleja que satisface estas condiciones y la ecuación? ¿O acaso hay una ecuación funcional diferente que se adapte mejor a este propósito?

Lo pregunto porque conozco una caracterización de la función real de este tipo $\exp$ .

Tenga en cuenta que sé muy poco sobre ecuaciones funcionales. Sólo he visto dos ejemplos tratados en mis cursos.

Answer 1

Esto podría estar relacionado. El truco de Herglotz es esencialmente la afirmación de que $\pi\cot(\pi z)$ es la única función meromórfica $f(z)$ satisfactorio:

$f(z)$ se define para $z\in\mathbb{C}\backslash\mathbb{Z}$

$f(z+1)=f(z)$

$f(-z)=f(z)$

$-f(z+\frac{1}{2})=f(z)-2f(2z)$

$\lim_{z\to0}\left(f(z)-\frac{1}{z}\right)=0$

Answer 2

Supongamos que $\;f(z) = g(rz)\;$ donde $\;r\;$ es el residuo del poste en $\;z=0.\;$ Suponiendo que la expansión en serie de Laurent de $g$ es $\;g(z) = 1/z +\sum_{n=0}^\infty c_n z^n,\;$ entonces la ecuación funcional se reescribe como $\;0 = f(x)(f(x)-2f(2x))-1\;$ da $\;0=-c_0/x+(-1-c_0^2-3c_1)+O(x)\;$ y resolviendo los coeficientes se obtiene $\;c_0=0,\; c_1=-\frac13,\;c_2=0,c_3=-\frac1{45},\cdots\;$ que da $g(z)=\cot(z).\;$ Por lo tanto, la solución es $f(z)=\cot(rz).\;$

Hay muchas otras ecuaciones funcionales para $f(x):=a\cot(bx),$ incluyendo ecuaciones cuadráticas homogéneas en una variable como $\;0 = f(x)^2-3f(x)f(2x)+f(x)f(3x)+f(2x)f(3x)\;$ y $\;0=f(x)^2-2f(x)f(2x)-f(2x)^2+2f(2x)f(4x).$