Como sugiere el título de la pregunta, ¿existe una función creciente $g$ tal que $g' = 0$ en casi todas partes menos $g$ no es constante en cualquier intervalo abierto?
Respuesta
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Sí, déjalo $\phi(x)$ es la función de Cantor-Lebesgue para $[0,1]$ y continuarlo a una función en $\mathbb{R}$ arreglándolo $1$ para $x>1$ y $0$ para $x<0$ . Sea $O_n = (a_n,b_n)$ sea una enumeración de todos los intervalos abiertos en $\mathbb{R}$ tal que los puntos finales tengan un valor racional.
Defina $ \phi_n(x) = \phi(\frac{x-a_n}{b_n-a_n}) $ y definir $$ g(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}\phi_n(x)$$ Ahora, para que podamos diferenciar $g$ necesitamos recordar Teorema de Fubini (que usted puede verificar, sostiene). entonces tenemos $g'(x)= \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}\phi_n(x)' = 0 \quad (\text{a.e})$
$g$ es estrictamente creciente ya que si $x>y$ entonces $\phi_n(x) \geq \phi_n(y)$ para todos $n$ . Además, debe existir algún racional $y<r<x$ y por lo tanto para al menos una $\phi_k(x)$ tenemos $\phi_k(x)>\phi_k(y)=0$ .
Una función estrictamente creciente no es constante en ningún intervalo abierto.
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Además de la muy buena respuesta de Ranc, creo que vale la pena mencionar que tales $g$ no es diferenciable en ningún intervalo. En efecto, si se supone que $g$ es diferenciable en algún intervalo, ya que $g'$ es el límite simple de $x \rightarrow \frac{g(x+2^{-n})-g(x)}{2^{-n}}$ el teorema de la categoría de Baire establece que existe $a$ en el que $g'$ es continua, por lo que $g'$ está acotado en algún intervalo $I$ ( $a\in I$ ), por tanto Lebesgue-integrable en $I$ y $\forall x \in I,\ g(x)-g(a) = \int_a^x g' = 0$ (porque $g'=0$ a.e.), y por tanto $g$ es constante en $I$ ...