Un libro que me estoy leyendo contiene los siguientes (parafraseado) \begin{equation} (a \times b) \times c = (a \cdot c)b - (b \cdot c)a \end{equation} Se supone que es esto que se sigue en: \begin{equation} (a \times b) \cdot (c \times d) = (a \cdot c)(b \cdot d) - (a \cdot d)(b \cdot c) \end{equation} Donde en ambas ecuaciones $a, b, c, d$ son todos los vectores. La pregunta es cómo probar esto?
Respuestas
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Si conoce la identidad $$x \cdot (y \times z) = (x \times y) \cdot z$$ para arbitrario vectores $x,y,z$, y luego poner las $x=a \times b$ y $y=c$, $z=d$, usted tiene $$ (a \times b) \cdot (c \times d) = ((a \times b) \times c) \cdot d $$ así que usted puede organizar su segunda ecuación, de modo que todo está salpicado de $d$: $$ ((a \times b) \times c) \cdot d = ((a \cdot c)b-(b \cdot c)a) \cdot d $$ y $d$ es arbitrario, por lo que los vectores de puntos en ambos lados debe ser el mismo.
Anthony Shaw
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Chappers' prueba de ello es la forma en que era más probable es que la intención (el uso de la identidad). Sin embargo, aquí es otro enfoque (aunque sólo sea para demostrar cuánto trabajo se guarda con la identidad)
Desde $(a\times b)\times a$ es perpendicular a $a$, $$ ((a\times b)\veces)\cdot a=0\etiqueta{1} $$ Desde $|a\times b|=|a|\,|b|\,|\sin(\theta)|$$a\cdot b=|a|\,|b|\cos(\theta)$, tenemos $$ |a\times b|^2+|a\cdot b|^2=|a|^2|b^2\etiqueta{2} $$ Desde $(a\times b)\cdot c=(b\times c)\cdot a$, podemos usar $(2)$ para obtener $$ \begin{align} (\color{#C00000}{(a\times b)}\times\color{#00A000}{a})\cdot\color{#0000F0}{b} &=(\color{#00A000}{a}\times \color{#0000F0}{b})\cdot\color{#C00000}{(a\times b)}\\ &=(a\cdot a)(b\cdot b)-(a\cdot b)(a\cdot b)\tag{3} \end{align} $$ $(a\times b)\times a$ es perpendicular a $a\times b$ que es perpendicular tanto a a$a$$b$. Por lo tanto, $(a\times b)\times a$ es en el plano de $a$$b$. Así, podemos comprobar de la siguiente ecuación tomando productos de puntos con $a$ $b$ y el uso de $(1)$ $(3)$ $$ (a\times b)\times a=(a\cdot a)b-(a\cdot b)a\etiqueta{4} $$ Intercambio de $a$ $b$ y la negación de la $(4)$ da $$ (a\times b)\times b=(a\cdot b)b-(b\cdot b)a\etiqueta{5} $$ Supongamos que $c$ es en el plano de $a$$b$. Escrito $c=xa+yb$, podemos tomar el producto escalar de esta ecuación con $a$ $b$ para obtener dos ecuaciones a resolver para$x$$y$. Esto le da $$ c=\tfrac{(a\cdot c)(b\cdot b)-(b\cdot c)(a\cdot b)}{(a\cdot a)(b\cdot b)-(a\cdot b)(a\cdot b)}+\tfrac{(a\cdot a)(b\cdot c)-(a\cdot c)(a\cdot b)}{(a\cdot a)(b\cdot b)-(a\cdot b)(a\cdot b)}b\etiqueta{6} $$ Además, desde el $c$ sólo aparece en el lado derecho de la $(6)$ en un producto escalar con $a$ o $b$, cualquier componente de $c$ perpendicular al plano de $a$ $b$ no va a cambiar el lado derecho. Por lo tanto, el lado derecho de la $(6)$ es una fórmula para la proyección perpendicular de $c$ sobre el plano de $a$$b$.
El uso de $(4)$, $(5)$, y $(6)$, tenemos $$ \begin{align} (a\times b)\times c &=\tfrac{(a\cdot c)(b\cdot b)-(b\cdot c)(a\cdot b)}{(a\cdot a)(b\cdot b)-(a\cdot b)(a\cdot b)}((a\cdot a)b-(a\cdot b)a)\\ &+\tfrac{(a\cdot a)(b\cdot c)-(a\cdot c)(a\cdot b)}{(a\cdot a)(b\cdot b)-(a\cdot b)(a\cdot b)}((a\cdot b)b-(b\cdot b)a)\\[4pt] &=(a\cdot c)b-(b\cdot c)a\tag{7} \end{align} $$
