Son todos Sylow 2-subgrupos en $S_4$ isomorfo a $D_4$?

Question

Me fue asignado para mostrar que cada Sylow 2-subgrupos en $S_4$ es isomorfo a $D_4$.
Así que pensé, ya que $|S_4|=24=2^3\cdot 3$, cada Sylow 2-subgrupo tiene la forma:
$\langle (a_{1}a_{2}),(a_{3}a_{4}a_{5}a_{6})\rangle$
o:
$\langle(a_{1}a_{2})(a_{3}a_{4}),(a_{5}a_{6}a_{7}a_{8})\rangle$
(donde $a_{i}\in\left\{ 1234 \right\}$ todos distintos en una permutación).
Para mi gran sorpresa, me enteré de que no es cierto que para cada elección de $\sigma=(a_1a_2)$$\tau=(a_3a_4a_5a_6)$, el grupo de $\langle\sigma, \tau\rangle$ formas un Sylow 2-subgrupo de...
Por ejemplo, $\langle(12),(1234)\rangle=\langle(23),(1234)\rangle=S_4$, donde, por otro lado, $\langle(13),(1234)\rangle$ no forman un subgrupo de $S_4$, isomorfo a $D_4$ (es de orden 8 y en todas las relaciones).
Primero de todo, tengo curiosidad acerca de por qué es importante que $\sigma$ puedo elegir (¿también la materia que $\tau$ me quedo??), tiene nada que ver con la reflexión de simetría? porque cuando se mira en un cuadrado con vértices numerados 1,2,3,4:

hay una gran diferencia entre el$(12)$$(13)$, y entre el $(12)(34)$ $(13)(24)$
¿Tiene algo que ver con eso?

Esto me lleva a mi segundo, la pregunta menos importante: teniendo en cuenta todo lo anterior, ¿cómo puedo escoger sabiamente $\sigma$$\tau$? o tengo que probar todas las posibles $\sigma$'s y $\tau$'s?

Answer 1

Por el Sylow de conteo de teoremas, el número de $n_2$ de Sylow 2-subgrupos es congruente con 1 mod 2 y se divide $24/2^3=3$. Por lo tanto, $n_2$ es igual a 1 o 3. Si $n_2$ es igual a 1, $D_4$ es el único Sylow-2 subgrupo en $S_4$, lo que significa que también es normal en $S_4$, pero este no es el caso. Para ello se puede ver que $D_4$ no es cerrado bajo conjugados: contiene $(1234)$ pero no $(1324)$, por ejemplo, o contiene $(13)$ pero no $(12)$. Por lo tanto $n_2=3$. Uno de los subgrupos en $S_4$ de orden 8 es $D_4 = \langle (13), (1234) \rangle$. Por los teoremas de Sylow, todos los subgrupos de orden 8 son conjugadas. Por lo tanto los otros dos subgrupos de orden 8 puede ser obtenido por el reetiquetado de los puntos en $D_4$ (es decir, tomar los conjugados de $D_4$). Por ejemplo, la conjugación por $(23)$ da el subgrupo $\langle (12), (1324) \rangle$, y la conjugación por $(34)$ da el subgrupo $\langle (14), (1243) \rangle$.

En cuanto a tu pregunta sobre cómo elegir a $\sigma$, se sabe que el $n$ciclo $(1,2,\ldots,n)$ y la transposición $(i,j)$ generar todos los de $S_n$ fib $i-j$ $n$ son relativamente primos.

Answer 2

Basta con encontrar un subgrupo de Sylow que es isomorfo a $D_4$. Entonces, ya que todos los subgrupos de Sylow son conjugado, todos ellos son isomorfos. Ahora considere el $\langle r=(1234),s=(13)\rangle$. Entonces $srs^{-1}=srs=(13)(1234)(13)=(3214)=(1234)^{-1}=r^{-1}$, $|r|=4,|s|=2$.