$P(X) = X^6 - 11X^4 + 36X^2 - 36$ tiene una raíz en $\mathbb{Q}_p$ por cada $p$

Question

Problema: Demostrar que $P(X) = X^6 - 11X^4 + 36X^2 - 36$ tiene una raíz en $\mathbb{R}$, no tiene raíces en $\mathbb{Q}$, pero tiene una raíz en $\mathbb{Q}_p$ por cada $p$.

Lo que he hecho: creo que esto en realidad es falso. Podemos encontrar esta factorización: $P(X) = (X^2 - 2)(X^2 - 3)(X^2 - 6)$. Así que podemos deducir que hay 6 diferentes raíces en $\mathbb{R}$, y no hay raíces en $\mathbb{Q}$. Para $p \not= 2,3$ la combinación de Hensel del Lexema y multiplicativity de Legendre Símbolo que podemos decir que hay una raíz en $\mathbb{Q}_p$.

Pero para $p = 3$ nosotros no podemos encontrar a $\sqrt{3}$ $\sqrt{6}$ $\mathbb{Q}_3$ porque se debe tener valor absoluto $|\sqrt{3}|_3 = |\sqrt{6}|_3 = 3^{-1/2}$ que no es posible a causa, como conjuntos, $|\mathbb{Q}_p|_p = |\mathbb{Q}|_p$. A raíz de la $(X^2 - 2)$ $\mathbb{Q}_3$ debe ser en $\mathbb{Z}_3$ porque $\mathbb{Q}_3$ es el campo de fracciones de $\mathbb{Z}_3$ que es la DVR y, por tanto, integralmente cerrado (es cierto?). Pero que no podemos resolver,$a_0^2 \equiv 2 \pmod 3$.

$\mathbb{Q}_2$ es casi la misma causa, debemos encontrar una raíz para $(X^2 - 3)$ pero $3 \not \equiv 1 \pmod 8$.

No me cometer errores o esto es un problema mal?

Answer 1

Aquí es válido contraejemplo para el principio de Hasse de este tipo. Tomar $$ f(x)=(x^2-2)(x^2-17)(x^2-34)=0. $$ Tiene una solución real, pero no racional; y tiene una solución en todas las terminaciones de $\mathbb{Q}$. Para $p\neq 2,17$ esto va como antes, con Hensel del lema; y para $p=2$ tenemos ahora $17\equiv 1 \bmod 8$, por lo que el $17$ $2$- ádico de la plaza. Para $p=17$ tenemos $6^2\equiv 2\bmod 17$, por lo que el $f(6)\equiv 0\bmod 17$, pero $f'(6)=12\not\equiv 0\bmod 17$, según se requiera. Por lo $f$ no tiene una solución racional aunque tiene una solución en todos los $p$-ádico campos, por $p$ el primer y el $p=\infty$.

En tu ejemplo, para $p=3$ necesitaríamos una $n$$f(n)\equiv 0\bmod 3$, pero $f'(n)\not\equiv 0\bmod 3$.