Ayer estaba aburrido así que me decidí a derivar la fórmula del área del círculo con las integrales. Muy buen ejercicio, yo creo, porque me olvidé de muchas, muchas cosas acerca de las integrales. Así que comenzamos con: $$\int_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}dx$$ pero yo no tenía ninguna idea de cómo contar integral indefinida $\int\sqrt{r^2-x^2}dx$ (es incluso posible? hoy sólo he encontrado el método para el recuento de la integral definida anteriormente con trigonométricas sustitución, pero esto no se aplica en general), así que me decidí a uso del teorema de Riemann, puesto que sólo se necesita contar de la integral definida. Y todo iba bien, hasta que algo muy interesante que ha ocurrido. El último paso que necesitas hacer es encontrar este límite: $$\lim_{n \to +\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\frac{k}{n}\cdot\frac{n-k}{n}}$$ Sorprendentemente es igual a $\frac{\pi}{8}$, y es alucinante ; -), pero sólo sé que ya me conoce la fórmula para el área del círculo que estoy tratando de obtener. Pero, sin saberlo, es posible calcular este límite con métodos relativamente sencillos? Yo realmente, realmente quiero a este en orden a la adjudicación de mis intentos. ¿Alguien puede ayudar?
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Como se ha señalado en los comentarios, su límite, regared como una suma de Riemann, es simplemente (por el sólo uso de simples cambios de variable): $$L=\int_{0}^{1}\sqrt{x(1-x)}\,dx=\int_{0}^{1}\sqrt{\frac{1}{4}-\left(\frac{1}{2}-x\right)^2}\,dx=\int_{-1/2}^{1/2}\sqrt{\frac{1}{4}-x^2}\,dx=\frac{1}{4}\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}dx = \frac{1}{4}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{8}.$$ $\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}dx$ es claramente la mitad del área del círculo unidad. De otra forma, poniendo $x=\sin\theta$: $$\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx = 2\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx=2\int_{0}^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta=\int_{0}^{\pi/2}\left(\cos(2\theta)+1\right)d\theta = \int_{0}^{\pi/2}1\,d\theta = \frac{\pi}{2}.$$
El último paso es malo. Vamos $$A=2\int_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}dx$$ ser el área de un círculo con un radio de $r$. Entonces $$\begin{align}\\ A&=2\int_{\style{color:red}{0}}^\style{color:red}{2r}\sqrt{r^2-(\style{color:red}{x-r})^2}\style{color:red}{dx}\\ Y=2\int_{0}^{2r}\sqrt{x(2r-x)}dx\\ &=2\int_\style{color:red}{0}^\style{color:red}{1}\sqrt{\style{color:red}{2rx}(2r-\style{color:red}{2rx})}\style{color:red}{2rdx}\\ &=8r^2\int_0^1\sqrt{x(1-x)}dx\\ \end{align}$$ Así, el límite correcto será $$\lim_{n\to\infty}8r^2\sum_{k=1}^n\frac1n\sqrt{\frac{k}{n}\cdot\frac{n-k}{n}}$$ Este límite converge a $r^2\pi$, que es el área real de círculo. Si desea calcular este límite algebraicamente, yo creo que no hay otra forma de convertir de nuevo a la integral definida, lo que significa que debe utilizar trigonométricas sustitución.
