Si f(x) existe en todas partes y g(y) existe en todo el rango de f(x), f′(x) existe en todas partes y f(x) por lo tanto debe ser continua en todas partes. Vamos a suponer que este es el caso.
Suponga f(x) tiene un máximo local en a x0:
- f′(x0)=0
- Existe x1<x0 donde f(x1)<f(x0)
- Existe x2>x0 donde f(x2)<f(x0)
También, no hay ningún otro extrema entre elx1x2.
Pick x3 x4 tal que x1<x3<x0<x4<x2f(x3)<f(x0)f(x4)=f(x3). Desde f(x) es continua, esto debe ser posible.
Puesto que no hay otros extremos entre el x3 aned x4, debemos tener f′(x)≥0x3<x<x0f′(x)≤0x0<x<x4.
Por lo tanto, debemos tener g(y)≥0f(x3)<y<f(x0)g(y)≤0f(x0)>y>f(x4). Pero f(x3)=f(x4), por lo que estos dos intervalos son los mismos. Debemos tener g(y)=0f(x3)<0<f(x0), lo que significa que debe tener f(x3)=f(x0), lo que contradice nuestra hipótesis original de que hay un máximo local.
El mismo argumento es válido para la asunción de un mínimo local.
Por lo f(x) no tiene ningún local máximo o mínimo local en cualquier lugar, y por lo tanto debe ser monótona.