Cómo probar $f(x)$ es monótono , si $f'(x)=g[f(x)]$

Question

Pregunta:

Deje $f(x)$ ser un derivado, y no exsit $g(x)$ ser tal que: $$f'(x)=g[f(x)]$$ Mostrar que $f(x)$ es monótona.

Este problema es de Xie Hui Min análisis de los problemas del libro en china ,y la El autor sólo dar la sugerencia: utilice la contradicción.

Mi idea: Supongamos que existen $x,y$ tal forma que: $$f(x)=f(y), x\neq y$$ Entonces:

$$f'(x)=g(f(x))\Longrightarrow f'(y)=g(f(y))=g(f(x))=f'(x).$$ Entonces no se puede continuar. Gracias

Answer 1

Si $f(x)$ existe en todas partes y $g(y)$ existe en todo el rango de $f(x)$, $f'(x)$ existe en todas partes y $f(x)$ por lo tanto debe ser continua en todas partes. Vamos a suponer que este es el caso.

Suponga $f(x)$ tiene un máximo local en a $x_0$:

1. $f'(x_0) = 0$
2. Existe $x_1 < x_0$ donde $f(x_1) < f(x_0)$
3. Existe $x_2 > x_0$ donde $f(x_2) < f(x_0)$

También, no hay ningún otro extrema entre el$x_1$$x_2$.

Pick $x_3$ $x_4$ tal que $x_1 < x_3 < x_0 < x_4 < x_2$$f(x_3) < f(x_0)$$f(x_4) = f(x_3)$. Desde $f(x)$ es continua, esto debe ser posible.

Puesto que no hay otros extremos entre el $x_3$ aned $x_4$, debemos tener $f'(x) \geq 0$$x_3 < x < x_0$$f'(x) \leq 0$$x_0 < x < x_4$.

Por lo tanto, debemos tener $g(y) \geq 0$$f(x_3) < y < f(x_0)$$g(y) \leq 0$$f(x_0) > y > f(x_4)$. Pero $f(x_3) = f(x_4)$, por lo que estos dos intervalos son los mismos. Debemos tener $g(y) = 0$$f(x_3) < 0 < f(x_0)$, lo que significa que debe tener $f(x_3) = f(x_0)$, lo que contradice nuestra hipótesis original de que hay un máximo local.

El mismo argumento es válido para la asunción de un mínimo local.

Por lo $f(x)$ no tiene ningún local máximo o mínimo local en cualquier lugar, y por lo tanto debe ser monótona.