$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)-x+\frac{x^3}{3!}-\frac{x^5}{5!}}{m x^n}=\frac{8}{7!}$

Question

Si $$\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)-x+\dfrac{x^3}{3!}-\dfrac{x^5}{5!}}{m x^n}=\dfrac{8}{7!}$$

entonces encuentra $m+n$ :

Mis intentos:

nota que $$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + o(x^7)$$ en $0$

Esto hace que nuestro límite sea igual a :

$$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{- \dfrac{x^7}{7!} + o(x^7)}{mx^n}$$

Tomando $n=7$ entonces:

$$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{- \dfrac{1}{7!}+o(1)}{m}$$

Podemos tomar $m=\dfrac{-1}{8}$ .

entonces $m+n=\dfrac{-1}{8}+7$

• ¿Estoy en lo cierto?
• ¿Hay alguna otra manera

Answer 1

Tienes razón. La técnica que has utilizado es la mejor manera práctica de hacer un problema así. Hay muchas otras maneras, incluyendo el uso repetido de la regla de l'Hospital, pero cuando se conoce la representación de la serie y no hay problemas de convergencia difíciles, eso es casi siempre más limpio.