Me he dado una prueba de la exactitud de la Birman secuencia exacta de los grupos: $$1\to\pi_1(S_{g,r}^s)\to MCG(S_{g,r}^{s+1})\overset{\lambda}{\to} MCG(S_{g,r}^s)\to 1$$ haciendo uso de la clasificación de los espacios exclusivamente. Dentro de poco, me miró a la inducida por el mapa de $\lambda_\ast$ entre los módulos de los espacios, la observación de que la fibra debe ser una superficie de tipo $S_{g,r}^s$, como "ingenuamente" uno puede ver que corresponde a la superficie, donde "la quita de la cúspide podría haber sido". Este paquete de la clasificación de los espacios induce de nuevo la secuencia de arranque en homotopy, y la prueba está completa.
Por desgracia, he utilizado que el de los módulos de espacios de $K(Mod(S_{g,r}^s),1)$, mientras que eso no es cierto, en general. Crees que me puede corregir la prueba de alguna manera? Por supuesto, una condición suficiente sería tener un libre $MCG(S)$-acción, pero es falso para los valores generales de $s$, $g$ y $r$.
Se podría decir cualquier cosa, por ejemplo, suponiendo que la $s$ es positivo? ¿Cuáles son las condiciones necesarias para garantizar que la asignación de la clase de grupo es de torsión libre?
