Actualmente estoy leyendo el artículo de J. D. Hamkins "Unfoldable cardinals and the GCH", y me he topado con un comentario que creo que debería encontrar trivial, pero no es así. En la página 1187, dice que $V_\theta^L\subseteq L_{\aleph_\theta}$ - ¿por qué? En concreto, ¿por qué no es así que $V_\theta^L=L_\theta$ ?
Muchas gracias de antemano.
Bueno, qué curioso que yo esté justo aquí mientras usted hace la pregunta, aunque no tengo mi artículo conmigo.
Pero tenga en cuenta que los elementos del conjunto de potencias de $L_\kappa$ en $L$ aparecen en etapas anteriores (e ilimitadas en) $L_{\kappa^+}$ por el famoso argumento de Gödel que muestra la GCH en $L$ . Así, una aplicación de powerset corresponde al siguiente cardinal mayor en la jerarquía de constructibilidad. Y así se puede demostrar la inclusión por inducción en $\theta$ .
Mientras tanto, tenga en cuenta que $V_\theta^L$ no suele ser igual a $L_\theta$ ya que tienen cardinalidades diferentes para numerosas $\theta$ . Sin embargo, es cierto que $V_\theta^L=L_\theta$ siempre que $\theta$ es un punto fijo beth en $L$ .
El punto para el artículo es que cada cardinal desplegable en $L$ es fuertemente desplegable, ya que si el modelo de destino contiene $V_\theta^L$ equivale a que incluya una gran $L_\alpha$ ya que $V_\theta^L\subset L_\alpha$ para un valor suficientemente grande de $\alpha$ y la observación anterior dice exactamente $\alpha$ es suficiente. Esta observación se debe originalmente a Andrés Villaveces, el inventor de los cardinales desplegables, y muestra que los cardinales desplegables y los cardinales fuertemente desplegables tienen la misma fuerza de consistencia.
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