La extensión de los residuos campos y algebraica de la independencia

Question

Deje $A$ ser un Noetherian integral de dominio, $B$ un anillo de extensión de $A$ que es una parte integral de dominio, $P \in \operatorname{Spec} B, \, p = P \cap A$. Denotar por $\kappa(p),\ \kappa(P)$ el residuo de los campos de los dos primeros ideales. Entonces vemos que hay un campo de extensión de la $\kappa(p) \hookrightarrow \kappa(P)$. Deje $t$ ser un entero no negativo tal que $t \le {\rm tr}.\deg_{\kappa(p)} \kappa(P)$.

Matsumura en su Conmutativa Anillo de la Teoría, la prueba del Teorema de 15.5, dice "vamos a $c_1,\dots,c_t \in B$ de manera tal que sus imágenes modulo $P$ son algebraicamente independientes sobre $A/p$."

Pregunta: ¿por Qué esos elementos existen?

(Editado)

Comentario: Matsumura quiere demostrar que $\operatorname{ht}(P)+\operatorname{tr.deg}_{\kappa(p)} \kappa(P) \le \operatorname{ht}(p)+ \operatorname{tr.deg}_A B$ y comienza demostrando que podemos asumir que $B$ es un finitely generadas $A$-álgebra. En concreto, se está demostrando que se puede construir un sub-anillo $C$ $B$ que es un finitely generado por $A$-álgebra, y que si el teorema es cierto para $C$, entonces es cierto de $B$. Mi pregunta se refiere a su argumento de "¿por qué podemos asumir que". En consecuencia, en responder a mi pregunta, no podemos hacer la suposición de que $B$ es un finitely generadas $A$-álgebra.

Answer 1

Tome $x_1,\dots,x_t$ a ser algebraicamente independiente sobre$k(p)$$k(P)$. A continuación, escriba cada una de las $x_i$ como fracción. Entonces, obtendrá $2t$ elementos de $B/P$. Me dicen que no se $t$ algebraicamente independiente entre el $2t$ elementos. Por qué? ¿Qué pasa si sólo hay $m<t$. Entonces, hay $m$ elementos $(y_1,\dots,y_m)$ $B/P$ de manera tal que los numeradores y denominadores son algebraicos sobre $k(p)[y_1,\dots,y_m]$. Pero, a continuación, $B/P$ es de trascendencia grado $m$$k(p)$. Por lo $m=t$, y hecho.