¿Por qué el momento de inercia (respecto al centro) de una esfera hueca es mayor que el de una esfera sólida (con el mismo radio y masa)?

Question

¿Por qué el momento de inercia (respecto al centro) de una esfera hueca es mayor que el de una esfera sólida (con el mismo radio y masa)? No tengo ni idea y lo pregunto porque es una pregunta interesante que me ha venido a la cabeza mientras hacía los deberes de física.

Answer 1

Una esfera hueca tendrá un momento de inercia mucho mayor que una esfera uniforme del mismo tamaño y la misma masa.

Si esto le parece contrario a la intuición, probablemente tenga la imagen mental de crear la esfera hueca mediante eliminar masa interna de la esfera uniforme. Ésta es una imagen incorrecta, ya que tal proceso crearía una esfera hueca de masa mucho más ligera que la esfera uniforme. El modelo mental correcto corresponde a en movimiento masa interna a la superficie de la esfera.

Answer 2

La clave es... cuanto más cerca esté la masa del eje de rotación, más fácil será añadir velocidad angular al cuerpo.

Por ejemplo, una patinadora artística gira más rápido cuando acerca sus extremidades al cuerpo.

Veamos cómo funciona de forma más intuitiva:

Por ejemplo, en la figura inferior, intentar levantar la mesa (A) sería más fácil que la mesa (B).

En ambos casos la masa de cada caja individual es la misma, pero en (A) tienes una palanca mejor debido a la distancia desde el borde donde se está aplicando la fuerza, a cada caja.

Por lo tanto, la mesa (B) sería más difícil de levantar, aunque R (longitud de la mesa) y M (masa total de las cuatro cajas) sean iguales.

Veamos ahora cómo funciona en el caso de las esferas:

1. Hagamos de la esfera un disco y dividámosla en trozos.
2. Haga que el centro de masa del disco sea fijo, y mueva todas las piezas a un lado.
3. Ahora tenemos un escenario similar al de las mesas.

Ambas esferas, la maciza y la hueca, giran alrededor de su centro de masa del mismo modo que la mesa gira alrededor de las patas situadas en el lado opuesto al que se aplica la fuerza.

Para entender el paso 2, en el que se colapsa la masa de todas las piezas, piensa en un tiovivo en el que todos los niños se mueven hacia un lado manteniendo fija su distancia al eje de rotación.

Answer 3

Aquí tienes una ilustración de una esfera uniforme y una esfera hueca de sección media con la misma masa, por si entiendes mejor estas cosas visualmente:

Answer 4

El momento de inercia de un cuerpo alrededor de un eje es una medida de la distancia a la que se distribuye la masa desde ese punto. Para una esfera sólida de masa $m$ radio $r$ se tiene la masa distribuida de forma continua desde el centro hacia el radio. Sin embargo, para una esfera hueca de masa $m$ radio interior $r_i$ y radio exterior igual que antes, $r$ tienes toda la masa ligeramente más lejos del centro.

Como toda la masa está más alejada del centro, es más difícil cambiar su momento angular, y su momento de inercia es mayor

Answer 5

La cuestión no es por qué: eso es engañoso. Se trata de cuándo, ya que sólo en determinadas condiciones es cierto. El momento de inercia es proporcional a la masa y a la distribución de esa masa alrededor del eje.