Un Ejercicio de Kunen (Un Modelo para la Fundación, de Emparejamiento...)

Question

Este es el ejercicio I. 4.18 en Kunen de la Teoría de conjuntos.

Derivan $\forall y (y \notin y)$ a partir de los Axiomas de la Comprensión y de la Fundación. No utilice la Vinculación o Extensionality Axiomas. A continuación encontrará 2 modelo de elementos para la Fundación, Extensionality, Emparejamiento, y la Unión, además de a $\exists y \forall x (x \in y)$ (así que, por supuesto, $y \in y$).

Sugerencia. Si $y \in y$ el uso de la Comprensión de la forma $x := \{y\}$; el hecho de que puede haber más de una $x$ no afecta a la prueba.

Mi intento:

Supongamos por contradicción $\exists y (y \in y)$. Fijar un $y$. Deje $x = \{z \in y \mid z = y\}$ por la Comprensión que tenemos de que el $x = \{y\}$. Pero entonces vemos que $y \in x$ $y \in y$ contradiciendo la Fundación Axioma que dice: $\exists y (y \in x) \implies \exists y (y \in x \wedge \neg\exists z (z \in x \wedge z \in y)$.

Que parte no tengo demasiado problema con el, pero no puedo por la vida de mí la figura de la segunda parte de la pregunta. Cada configuración hago de dos elementos que no ha funcionado. Estoy seguro de que hay una forma muy sencilla y obvia respuesta, así que por favor hágamelo saber! Esto ha dejado perplejos a mí para el último par de días!

Gracias!

Answer 1

Tome el universo, el ser $\{x,y\}$. Deje $\in=\{(x,y),(y,y)\}$. Que es $x$ es el "conjunto vacío" y $y$ contiene todo. Extensionality sigue trivialmente. La fundación sigue trivialmente así porque el único conjunto no vacío contiene el conjunto vacío. La unión también es cierto que desde $\bigcup y = y$$\bigcup x=x$. El emparejamiento es trivialmente cierto porque Kunen define su vinculación $\forall x\forall y\exists z(x\in z\land y\in z)$, por lo que el conjunto universal está ahí para proporcionar a la par de cualquier conjuntos.

Observe, sin embargo, que si el emparejamiento axioma se $\forall x\forall y\exists z(\forall w(w\in z\leftrightarrow w=x\lor w=y))$, entonces no hay 2 modelo de elementos que satisface todos estos axiomas. Para ver esto vamos a $\{x,y\}$ a ser el universo y dejar que el conjunto universal se $y$. A continuación, por la vinculación de $\{x\}$ existe y por extensionality es diferente de $y$ (ya que contiene un elemento, mientras que el otro contiene dos). Por lo tanto $\{x\}=x$. Desde esta fundación se produce un error, exactamente como lo mostró en su prueba.