Demostrar que $\mathbb R^2$ está conectado

Question

Traté de demostrar que $\mathbb{R}^2$ está conectado con el habitual métrica euclidiana. Hay una sugerencia: Considerar los subespacios de la forma$\{a\}\times \mathbb{R}$$\mathbb{R}\times \{b\}$. Esto hace que se confunda. Alguien me puede ayudar con esta pregunta? Demostrar $\mathbb{R}^2$ está conectado. Gracias.

Answer 1

Recordemos que $\mathbb R$ está conectado, y el aviso de que es homeomórficos vertical y horizontal de las rebanadas de la forma$\{a\} \times \mathbb R$$\mathbb R \times \{b\}$, de modo que estos segmentos están conectados. Ahora fijar el punto de base $(0, 0) \in \mathbb R^2$ cualquier $a \in \mathbb R$, de considerar a la familia de la cruz en forma de espacios de la forma: $$ T_a = (a\{a\} \times \mathbb R) \cup (\mathbb R \times \{0\}) $$ Tomando la unión de todos en forma de cruz espacios, por encima de todas las $a \in \mathbb R$, podemos obtener todo el plano. Por lo tanto, desde el $\mathbb R^2$ es la unión de una colección de espacios conectados que tienen un punto de base $(0, 0)$ en común, llegamos a la conclusión de que $\mathbb R^2$ también debe estar conectado, como se desee. $~\blacksquare$

Answer 2

Si $(x,y),(u,v)\in\mathbb{R}^2$, entonces la función de $f:[0,1]\to \mathbb{R}^2$ definido por $$f(\xi ) =\xi (u,v) +(1-\xi )(x,y)$$ is continuous and $f(0) =(x,y) , f(1) =(u,v).$ Hence the space $\mathbb{R}^2$ es el camino conectado, pero cada ruta de acceso conectado espacio está conectado.

Answer 3

Recordemos que $[0,1]$ está conectado. Una construcción de Peano da un espacio de llenado (lea: surjective) curva continua $f: [0,1] \to [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2$. Desde imágenes continuas de conjuntos conectados están conectados, podemos deducir $[0,1] \times [0,1]$ está conectado.

Está claro que hay una homeomorphism entre el $[0,1] \times [0,1]$ y de puertas cerradas, rectángulo en a $\mathbb{R}^2$. Por lo tanto, cualquier rectángulo cerrado en $\mathbb{R}^2$ está conectado.

Deje $R_n = [-n,n] \times [-n,n]$. Desde $R_n \subset R_{n+1}$, dos de los rectángulos $R_i$ tienen intersección no vacía, por lo tanto la unión de todos los $R_i$ está conectado. Pero $\bigcup_{i=1}^{\infty} R_i = \mathbb{R}^2$. Llegamos a la conclusión de $\mathbb{R}^2$ está conectado.

Desde el espacio de llenado de las curvas que existen en todas las dimensiones, esta prueba puede ser extendido para mostrar $\mathbb{R}^n$ se conecta para todos los $n\ge 2$.

Answer 4

Para un enfoque que utiliza la sugerencia que te dieron, fix $a,b\in \mathbb R$.

Ahora tome $A_x=\mathbb R\times \left \{ b \right \}\cup \mathbb R\times \left \{ x \right \}$. Este conjunto está conectado, siendo la unión de dos conjuntos conectados (líneas, que son homeomórficos a $\mathbb R$) y tienen un punto en común.

Para finalizar, tenga en cuenta que $\mathbb R^2=\bigcup _{x\in \mathbb R}A_{x}$ está conectado porque se trata de una unión de conjuntos todos los cuales tienen un punto-es decir, $(a,b)$- en común.