¿Por qué la tangente de números muy cerca de $\frac{\pi}{2}$ asemejan el número de grados en un radián?

Question

Pruebas con mi calculadora en grado modo, me he encontrado con lo siguiente para ser verdad:

$$\tan \left(90 - \frac{1}{10^n}\right) \approx \frac{180}{\pi} \times 10^n, n \in \mathbb{N}$$

¿Por qué es esto? ¿Cuál es la prueba o explicación?

Answer 1

El poder de la serie para la cotangente (por $x$ en radianes) es $$\cot x = \frac{1}{x} - \frac{1}{3}x - \frac{1}{45}x^3 - \frac{2}{945}x^5 - \cdots \approx \frac{1}{x} \; \text{for $x$ small}$$

Así,

$$\tan\left( 90^\circ - \frac{1^\circ}{10^n} \right) = \cuna\frac{1^\circ}{10^n} = \cuna\frac{\pi/180}{10^n} \approx \frac{10^n}{\pi/180} = \frac{180}{\pi}\times 10^n$$

Felicitaciones por darse cuenta de que el patrón en su calculadora!

Answer 2

En primer lugar, tenga en cuenta que por norma identidades trigonométricas, $$\tan\left(90^\circ-\frac{1^\circ}{10^n}\right)= \frac{\sin\left(90^\circ-\frac{1^\circ}{10^n}\right)}{\cos\left(90^\circ-\frac{1^\circ}{10^n}\right)}=\frac{\cos\left(\frac{1^\circ}{10^n}\right)}{\sin\left(\frac{1^\circ}{10^n}\right)}=\frac{\cos\left(\frac{1}{10^n}\times\frac{\pi}{180}\right)}{\sin\left(\frac{1}{10^n}\times\frac{\pi}{180}\right)}.$$ También, el poder de la serie para $\sin$ $\cos$ $$\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$$ $$\cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$$ así que, para las pequeñas $x$, tenemos $$\sin(x)\approx x\hphantom{,}$$ $$\cos(x)\approx 1,$$ y por lo tanto $$\tan\left(90^\circ-\frac{1^\circ}{10^n}\right)\approx\frac{1}{\frac{1}{10^n}\times\frac{\pi}{180}}=\frac{180}{\pi}\times 10^n.$$

Answer 3

Tenemos $\tan(\frac{\pi}{2}-x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}$. Pero $\cos$ es continua en a $0$, lo $\cos(x)\approx \cos(0)=1$ $x$ lo suficientemente cerca como para $0$. Así, $\sin$ es diferenciable en a $0$, lo $\sin(x)$ puede ser aproximada por su tangente en$0$,$x$. Por lo tanto, $\tan(\frac{\pi}{2}-x)\approx\frac{1}{x}$ al $x$ es lo suficientemente cerca como para $0$

(Usted puede tener una estimación del error cometido mediante el uso de Taylor de la estimación).

Nota: como siempre, en matemáticas, todos los ángulos de arriba están en radianes.