Pregunta de opción múltiple sobre la totalidad de la función de $f:\Bbb{C}\to\Bbb{C}$ y la función de $g :\Bbb{C}\to\Bbb{C} $ definido por $ g(z)= f(z) - f(z+1)$

Question

Deje $ f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} $ ser toda la función y deje $g : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} $ ser definido por $$g(z)= f(z) - f(z+1)$$ for all $ z\in \mathbb{C}$. Cual de las opciones es correcta :

1. si $ f(\frac{1}{n}) = 0 $ para todos los enteros positivos n, $f$ es una función constante.

2. si $ f(n) = 0 $ para todos los enteros positivos n, $f$ es una función constante.

3. si $ f(\frac{1}{n}) = f(\frac{1}{n}+1)$ para todos los enteros positivos n, $g$ es una función constante.

4. $ f(n) = f(n+1) $ para todos los enteros positivos $n$, $g$ es una función constante

Por favor, sugiera cuál de las opciones son correctas.

Utilizando el teorema de Identidad, las opciones 1 y 3 parecen ser correctos como en ambos casos, la secuencia de ceros para $\,f\,$ $\,g\,$ $ < \frac{1}{n} >$ que converge a cero, lo que pertenece a $\Bbb C$. Por lo tanto, en ambos casos $\,f\,$ $\,g\,$ son idénticamente igual a cero. Pero en (2) y (4), llegamos por tanto a $\,f\,$$\,g\,$, en la secuencia de ceros $ <{n}>$ diverge a infinito que no garantice la necesaria conclusión.

Answer 1

Esta respuesta es una compilación de las respuestas dadas en los comentarios de arriba.

Para responder a estas preguntas, usted debe estar familiarizado con el teorema de identidad.

1. Verdadero. El conjunto de ceros de $f(z)$ tiene un punto de acumulación en $0$, lo $f$ es idéntica a cero.

2. Falso. Considere la posibilidad de $f(z)=\sin(\pi z)$.

3. Verdadero. Tenemos $f(1/n)=f(1/n+1)$ todos los $n\in\mathbb{N}$, lo $g(1/n)=f(1/n-f(1+1/n)=0$ todos los $n\in\mathbb{N}$, y el conjunto de ceros tiene un punto de acumulación en 0, por lo $g$ es idéntica a cero.

4. Falso. De nuevo, considere la posibilidad de $f(z)=\sin(\pi z)$.