No $$\int_{-1}^{1} \frac{1}x \mathrm{d}x=\lim_{\epsilon\to 0^{+}} \int_{-1}^{-\epsilon} \frac{1}x \mathrm{d}x+\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \frac{1}x \mathrm{d}x+\int_{\epsilon}^{1} \frac{1}x \mathrm{d}x=0 ?$$
Respuestas
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En primer lugar, $\frac 1 x$ no está definido en $[-1,1]$ (a causa de lo que sucede en $0$). Usted podría conseguir alrededor de esto, al considerar que se define en $[-1,0) \cup (0,1]$, pero luego tienes otro problema, mucho más grave: la función es ilimitado, y el concepto de "integral de Riemann" se define sólo para delimitadas las funciones (y limitado de intervalos).
Finalmente, usted podría tratar de usar el concepto de "integral impropia de segunda especie". Esto no funciona, o bien: $\int \limits _{-1} ^1 \frac 1 x \ \Bbb d x = \int \limits _{-1} ^0 \frac 1 x \ \Bbb d x + \int \limits _0 ^1 \frac 1 x \ \Bbb d x = \infty - \infty$ que es indeterminado.
Lo que usted está tratando de hacer es dar un sentido a la integral utilizando el concepto de "valor del capital", en el marco de la teoría de la distribución. Pero esto claramente no es lo mismo que decir que su función es integrable con la forma de $0$.
Alexandros Gezerlis
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Supongo que su intención es que el $\int_{-1}^{-\epsilon}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = -\int_{\epsilon}^{1}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ por medio de una simple sustitución, y, a continuación, el centro integral "debe ser igual a cero ya que el integrando es impar".
Por desgracia, $\lim_{\epsilon\to0^{+}}\int_{-\epsilon}^{\epsilon}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x \neq 0$. El integrando no está definido en $0$, e $0$ está en la región de integración. Esto significa que la integral no está definido.
Realmente no se puede escapar de este problema. Si intenta evaluar la integral como \begin{align*} \int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \lim_{\epsilon\to 0^{-}}\int_{-1}^{\epsilon}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x + \lim_{\epsilon\to0^{+}}\int_{\epsilon}^{1}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x \end{align*} entonces te encuentras con el problema de que ninguno de sus dos nuevos límites son convergentes. Por ejemplo, $$\lim_{\epsilon\to0^{+}}\int_{\epsilon}^{1}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \lim_{\epsilon\to0^{+}}\big(\ln{1}-\ln{\epsilon}\big) = -\lim_{\epsilon\to0^{+}}\ln{\epsilon},$$ y esta última claramente diverge a infinito.
