Limite $\lim_{x \to \infty}{\sin{\sqrt{x+1}}-\sin{\sqrt{x}}}$

Question

Quiero calcular $$\lim_{x \to \infty}{\sin{\sqrt{x+1}}-\sin{\sqrt{x}}}.$$

¿Está bien cómo quiero hacerlo?

$$\sin{\sqrt{x+1}}-\sin{\sqrt{x}}=2\sin{\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}}\cos{\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}}=2\sin{\frac{1}{2(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}}\cos{\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}}$$

No estoy seguro, pero quiero decir que $$|\cos \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}| \leq 1$$ $$\sin{\frac{1}{2(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}} \to 0 \mbox{ when } x \to \infty$$ Así que el límite es $0$ ?

Creo que no es porque si digo que $ \displaystyle|\sin{\frac{1}{2(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}}| \leq 1$ Voy a obtener que otro límite que $0$ .

Gracias :)

Answer 1

Asumiendo que tienes el Teorema del Valor Medio a tu disposición, esa es la forma más fácil de demostrar que el límite es igual a $0$ : con $g(x) = \sin\sqrt x$ tenemos $$ \sin\sqrt{x+1}-\sin\sqrt x = g(x+1)-g(x) = ((x+1)-x)g'(\xi) = \frac{\cos\sqrt\xi}{2\sqrt\xi} $$ para algunos $x\le\xi\le x+1$ . En particular, $$ |\sin\sqrt{x+1}-\sin\sqrt x| = \frac{|\cos\sqrt\xi|}{|2\sqrt\xi|} \le \frac1{2\sqrt x}, $$ y así $\lim_{x\to\infty} (\sin\sqrt{x+1}-\sin\sqrt x) = 0$ por el Teorema del Apretón.

Answer 2

Un argumento más sencillo es escribir $f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$ y observe que, dado que $\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=0$ y $\sin$ es uniformemente continua, tenemos $$\lim\limits_{x\to \infty}\sin(\sqrt{x}+f(x))-\sin(\sqrt{x})=0.$$

¿Por qué funciona esto? Dejemos que $g$ sea una función uniformemente continua, $f$ una función tal que $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0$ y $h$ una función arbitraria. Entonces $$\lim\limits_{x\to\infty} g(h(x)+ f(x))-g(h(x))=0$$ como para cualquier $\epsilon>0$ podemos elegir algunos $\delta>0$ tal que $|a-b|<\delta\implies |g(a)-g(b)|<\epsilon$ Así pues, la elección de $x_0$ tal que $x>x_0\implies |f(x)|<\delta$ nos da que para $x>x_0$ , $|g(h(x)+f(x))-g(h(x))|<\epsilon$ por lo que el límite como $x\to \infty$ es $0$ .

Answer 3

Tu planteamiento es correcto: la parte del coseno sigue oscilando, pero está acotada entre -1 y 1, mientras que el seno llega a cero debido a que su argumento llega a cero. Por tanto, su producto también llega a cero (aunque se multiplique por 2).

La última observación sobre el límite del valor del seno es válida (en el sentido de que la desigualdad es verdadera), pero no tiene ninguna relevancia: si sabes que el seno y el coseno están acotados entre -1 y 1, puedes concluir que su producto también cae entre estos límites (lo cual es cierto, pero no proporciona mucha información sobre el límite real o su existencia).

Answer 4

Aquí hay otro enfoque, usando el truco del OP de meter las raíces cuadradas en el denominador, pero con una identidad trigonométrica diferente, en este caso $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ .

$$\begin{align} |\sin(\sqrt{x+1})-\sin\sqrt x| &=|\sin(\sqrt x+\sqrt{x+1}-\sqrt x)-\sin\sqrt x|\\ &=|\sin\sqrt x ( \cos(\sqrt{x+1}-\sqrt x)-1)+\cos\sqrt x\sin(\sqrt{x-1}-\sqrt x)|\\ &\le|\cos(\sqrt{x+1}-\sqrt x)-1|+|\sin(\sqrt{x-1}-\sqrt x)|\\ &=\left|\cos\left(1\over\sqrt{x+1}+\sqrt x \right)-1\right|+\left|\sin\left(1\over\sqrt{x+1}+\sqrt x \right) \right|\\ &\to|\cos0-1|+|\sin0|=|1-1|+|0|=0 \end{align}$$