Estoy tratando de leer la prueba de
LEMMA 6.1 (Nagell)
Deje que $u_n$ se definirá por $u_0=0$ , $u_1=1$ y
$u_n=u_{n-1}-2u_{n-2} \hspace {20pt} (n \geq 2)$ .
Luego $u_n= \pm1 $ sólo para $n=1,2,3, 5 $ y 13.
Me quedo atascado en (6.13), pero mejor dar un poco de contexto. Lamento haber escrito tanto abajo, pero probablemente puedas saltar al (6.11) y revisar la información cuando la necesites.
Los primeros valores de $u_n$ son
$ \begin {array}{c| c c c c c c c c c c} n & 0 & 1 &2&3&4&5&6&7&8&9 \\ \hline u_n & 0 & 1 & 1 & -1 & 3 & -1 & 5 & 7 & -3 & -17 \end {array}.$
Resolviendo la relación de recurrencia por las matemáticas de sexto grado, tenemos
$u_n= \frac { \alpha ^n- \beta ^n}{ \alpha - \beta }$ , (6.2)
donde $ \alpha $ , $ \beta $ son las raíces de
$F(X)=X^2-X+2.$ (6.3)
Resolvemos eso $F(X)$ se divide en $ \mathbb {Q}_{11}$ y
encontramos que hay una raíz $ \alpha\in \mathbb {Z}_{11}$ con
$ \alpha \equiv 16 (11^2)$ . (6.4)
La otra raíz es
$ \beta =1- \alpha\equiv 106 (11^2)$ . (6.5)
Nuestro primer pensamiento es expandir $u_n$ como una serie de energía en $n$ y aplicar el teorema de Strassmann.
Para hacer esto nos fijamos
$A= \alpha ^{10} \equiv 1 \mod 11$
$B= \beta ^{10} \equiv 1 \mod 11$ (6.6)
Por lo tanto, escribimos
$n=r+10s$ $0 \leq r \leq 9$
así que $u_{r+10s}= \frac { \alpha ^rA^s- \beta ^rB^s}{ \alpha - \beta }$ (6.7)
Observamos que
$u_{r+10s} \equiv u_r (11)$ (6.8)
y por lo tanto el único $r$ que necesitamos considerar son $r=1,2,3,5.$
Ahora escribimos
$ \alpha ^{10}=A=1+a$ , $ \beta ^{10}=B=1+b$ , (6.9)
así que
$a \equiv 99 (11^2)$ , $b \equiv 77(11^2)$ (6.10)
y desarrollar
$( \alpha - \beta )(u_{r+10s} \mp 1)= \alpha ^r(1+a)^s- \beta ^r(1+b)^s \mp ( \alpha - \beta )$ (6.11)
como una serie de energía
$c_0+c_1s+c_2s^2+...$ (6.12)
usando Lemma 5.2. Aquí el signo superior es correcto para $r=1,2$ y el más bajo para $r=3,5$ . En todos los casos $c_0=0$ . Es fácil ver que
$c_j \equiv 0 (11^2)$ (todos $j \geq 2$ ). (6.13)
¡No me parece tan fácil de ver! Lo sé. $c_j \equiv 0 (11^2)$ para los suficientemente grandes $j$ porque las series de energía convergen en $ \mathfrak {o}$ (esto es lo que dice Lemma 5.2). Normalmente diferenciaría $k$ y evaluar a cero para comprobar $j=k$ pero esto no tiene ningún sentido en este contexto. Gracias por cualquier ayuda.
Como referencia, Lema 5.2 :
LEMMA 5.2 Que $b \in \mathbb {Q}_p$ y supongamos que
$|b| \leq 2^{-2}$ ( $p=2$ )
$|b| \leq p^{-1}$ (de lo contrario).
donde está el $p$ -valoración adictiva. Luego hay una serie de poder
$ \Phi_b (X)= \sum_ {n=0}^ \infty\gamma_nX ^n$ , (5.2)
donde
$ \gamma_n \in \mathbb {Q}_p$ , $ \gamma_n \rightarrow 0$
de tal manera que
$(1+b)^r= \Phi_b (r)$
para todos $r \in \mathbb {Z}$ .
