Cómo ampliar la serie de Fourier para $f(x)=\max \{0, \frac{\pi}{2}-\lvert x\rvert \} $?

Question

Mi Pregunta: Mi Objetivo es determinar la serie de Fourier para $f(x)=\max \{0, \frac{\pi}{2}-\lvert x\rvert \} \quad$ $x \in [-\pi, \pi ]$ Esta función es $2\pi$-periódico.

Mi Enfoque: me enteré, $f(x)$ es una función par, debido a que su gráfica es simétrica al eje y. La Expresión: $\frac{\pi}{2}-\lvert x \rvert$ "ceros":

$\frac{\pi}{2}-\lvert x \rvert = 0$
$\frac{\pi}{2}= \lvert x \rvert $
$x_{0}=-\frac{\pi}{2}$
$x_{1}=+\frac{\pi}{2}$

el gráfico debe buscar de alguna manera como que.. por lo que la función es lineal en todo el Intervalo:

Pero ahora Viene lo difícil. Estoy atascado en la construcción de la serie de Fourier para $f(x)$ La integral debe ser edificada tal vez de esta manera, pero no estoy seguro si estoy en lo correcto:

$\int (\frac{\pi}{2}-x)\cdot \cos (nx)\ dx = \frac{\pi}{2n}\sin (nx) - \frac{x}{n}\sin (nx) - \frac{1}{n^2}\cos (nx)$

¿Qué piensa usted, ¿es eso cierto? Y cuál sería el próximo paso? Mi libro de texto no describe el cálculo más.

p.s. modificaciones para mejorar el idioma y el látex

Answer 1

Ya que la función es par, los coeficientes de $\sin nx$ son todos cero. El término constante es el valor promedio de la función en $[-\pi,\pi]$: $$ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\,dx\;=\; \frac{1}{2\pi}\left(\frac{\pi^2}{4}\right) \;=\; \frac{\pi}{8} $$ (La integral de aquí se evaluó utilizando la fórmula del área de un triángulo.)

El coeficiente de $\cos nx$ está dado por la fórmula $$ a_n \;=\; \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\,\cos nx\;dx $$ Desde $f(x)$ es distinto de cero sólo en $[-\pi/2,\pi/2]$, este es el mismo como $$ a_n \;=\; \frac{1}{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(x)\,\cos nx\;dx $$ Por otra parte, desde la $f(x) \cos nx$ es una función par, se puede restringir a $[0,\pi/2]$ y el doble de la integral: $$ a_n \;=\; \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi/2} f(x)\,\cos nx\;dx \;=\; \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi/2} \left(\frac{\pi}{2} x\right)\,\cos nx\;dx $$ La integral de la derecha puede ser evaluado usando integración por partes. El resultado es: $$ a_n \;=\; \begin{cases}\dfrac{2}{\pi n^2} & \text{if }n\equiv 1,3\pmod{4}, \\[6pt] \dfrac{4}{\pi n^2} & \text{if }n\equiv 2\pmod 4, \\[6pt] 0 & \text{if }n\equiv 0 \pmod{4}.\end{casos} $$ Así $$ f(x) \;=\; \frac{\pi}{8} + \frac{2}{\pi}\cos x + \frac{1}{\pi}\cos 2x + \frac{2}{9\pi}\cos 3x + \frac{2}{25\pi}\cos 5x + \frac{1}{9\pi}\cos 6x + \cdots. $$ En resumen la forma, $$ f(x) \;=\; \frac{\pi}{8} \,+\, \sum_{k=0}^\infty \frac{2}{\pi(2k+1)^2} \cos\bigl((2k+1)x\bigr) \,+\, \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{\pi(2k+1)^2} \cos\bigl((4k+2)x\bigr). $$ Por cierto, la siguiente animación te muestra la convergencia de esta serie de Fourier para los primeros doce términos: