Que pena de entre las tres frases está la mentira?

Question

1. La segunda afirmación es la mentira o la tercera instrucción es la mentira.
2. Esta afirmación es una verdad, o de la última declaración y la segunda declaración no puede ser ambas verdades.
3. La primera declaración es la mentira y la segunda afirmación es una verdad, o esta declaración es la mentira.

Sólo puede haber una mentira, y el resto de las frases que tiene que ser verdad. Mi conjetura es #3. basado en la tabla de verdad de la TTL, TLT, LTT, donde 3 contradice #2. Pero, me pregunto si me he perdido algo?

Answer 1

Deje $p,q$, e $r$ stand, respectivamente, para '(1) es verdadero', '(2) es verdadera', y '(3) es verdadera'. A continuación, las tres afirmaciones se hacen (1) $\lnot q\lor\lnot r$, (2) $q\lor\lnot(q\land r)$, y (3) $(\lnot p\land q)\lor\lnot r$. Ahora usted puede hacer que el pleno de la tabla de verdad, como se muestra a continuación:

$$\begin{array}{c} &&&p\equiv&q\equiv&r\equiv\\ p&q&r&\lnot q\lor\lnot r&q\lor\lnot(q\land r)&(\lnot p\land q)\lor\lnot r\\ \hline \text{T}&\text{T}&\text{F}&\color{blue}{\underline{\color{red}{\textbf{F}}}}&\text{T}&\color{blue}{\underline{\color{red}{\textbf{T}}}}\\ \text{T}&\text{F}&\text{T}&\text{T}&\text{F}&\color{blue}{\underline{\color{red}{\textbf{F}}}}\\ \text{F}&\text{T}&\text{T}&\text{F}&\text{T}&\text{T} \end{array}$$

El rojo entradas muestran los lugares en donde los valores de verdad de los siguientes enunciados es inconsistente. Como se puede ver, sólo la tercera asignación de valores de verdad es libre de contradicciones, de modo que (1) debe ser la mentira.

De hecho, $q\lor\lnot(q\land r)$ es lógicamente equivalente a $q\lor(\lnot q\lor\lnot r)$ por De Morgan leyes, y esta es una tautología, como se ve fácilmente por la reescritura como $(q\lor\lnot q)\lor r$. Por lo tanto, (2) debe ser una declaración verdadera. Si (1) fueron también es cierto, (3) sería la mentira, pero eso implicaría que (2) también fue una mentira, lo cual es imposible.

Answer 2

Permita que los tres enunciados de $A$, $B$ y $C$ respectivamente. Entonces podemos resumir las declaraciones como:

\begin{align} (A &\Leftrightarrow [\neg B \vee \neg C]) \\ \wedge \ (B &\Leftrightarrow [B \vee \neg (B \wedge C)]) \\ \wedge \ (C &\Leftrightarrow [(\neg A \wedge B) \vee \neg C]). \end{align}

La escritura de todas las implicaciones, obtenemos

\begin{align} (A &\Rightarrow [\neg B \vee \neg C]) \\ \wedge \ (A &\Leftarrow [\neg B \vee \neg C]) \\ \wedge \ (B &\Rightarrow [B \vee \neg (B \wedge C)]) \\ \wedge \ (B &\Leftarrow [B \vee \neg (B \wedge C)]) \\ \wedge \ (C &\Rightarrow [(\neg A \wedge B) \vee \neg C]) \\ \wedge \ (C &\Leftarrow [(\neg A \wedge B) \vee \neg C]). \end{align}

La reducción de la $P \Rightarrow Q$$\neg P \vee Q$, obtenemos

\begin{align} &(\neg A \vee [\neg B \vee \neg C]) \\ \wedge& (A \vee \neg [\neg B \vee \neg C]) \\ \wedge& (\neg B \vee [B \vee \neg (B \wedge C)]) \\ \wedge& (B \vee \neg [B \vee \neg (B \wedge C)]) \\ \wedge& (\neg C \vee [(\neg A \wedge B) \vee \neg C]) \\ \wedge& (C \vee \neg [(\neg A \wedge B) \vee \neg C]). \end{align}

La reducción de cada término de forma individual, obtenemos

\begin{align} &(\neg A \vee \neg B \vee \neg C) \\ \wedge& (A \vee (B \wedge C)) \\ \wedge&\text{true} \\ \wedge& B \\ \wedge& (\neg C \vee (\neg A \wedge B)) \\ \wedge& C. \end{align}

O, en definitiva,

$$B \wedge C \wedge (A \vee (B \wedge C)) \wedge (\neg A \vee \neg B \vee \neg C) \wedge (\neg C \vee (\neg A \wedge B)).$$

Esta declaración sólo puede mantenerse si $B$ $C$ ambos mantienen, en cuyo caso el tercero, cuarto y quinto término de reducir a $\text{true}$, $\neg A$ y $\neg A$. Así que las declaraciones son congruentes si y sólo si

$$\color{blue}{\neg A \wedge B \wedge C}.$$

Así que incluso si varias declaraciones podría ser una mentira, la única constante es el escenario de que la declaración de $1$ es una mentira, y $2$ $3$ son verdades.

Answer 3

#3 no contradice #2, debido a que "Esta afirmación es una verdad" en el #2, y "La primera declaración es la mentira y la segunda afirmación es una verdad" en el #3 se puede mantener. Así que #1 debe ser el único que es una mentira.

Answer 4

Dejando $S1,S2,S3$ soporte para las tres declaraciones, nos da que \begin{align} \tag{0} \text{exactly one of }S1, S2, S3\text{ is false} \\ \end{align} y \begin{align} \tag{1} S1 & \;\equiv\; \lnot S2 \lor \lnot S3 \\ \tag{2} S2 & \;\equiv\; S2 \lor \lnot (S3 \land S2) \\ \tag{3} S3 & \;\equiv\; (\lnot S1 \land S2) \lor \lnot S3 \\ \end{align}

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Mirando la forma de fórmulas $(2)$ $(3)$ sugiere que pueden ser simplificados. Por ejemplo, $(3)$ tiene la forma $\;P \;\equiv\; Q \lor \lnot P\;$, que se puede simplificar de la siguiente manera: \begin{align} & P \;\equiv\; Q \lor \lnot P \\ \equiv & \qquad \text{"write %#%#% as %#%#%} \\ & \qquad \phantom{\text{"}}\text{-- this gives %#%#% on both sides"} \\ & \lnot(\lnot P \;\equiv\; Q \lor \lnot P) \\ \equiv & \qquad \text{"one way to rewrite %#%#%"} \\ & \lnot(Q \Rightarrow \lnot P) \\ \equiv & \qquad \text{"another way to rewrite %#%#%"} \\ & \lnot(\lnot Q \lor \lnot P) \\ \equiv & \qquad \text{"DeMorgan"} \\ & P \land Q \\ \end{align} Ahora podemos usar esto para simplificar $\;\psi \;\equiv\; \phi\;$: \begin{align} \tag{3} & S3 \;\equiv\; (\lnot S1 \land S2) \lor \lnot S3 \\ \equiv & \qquad \text{"using the above simplification,} \\ & \qquad \phantom{\text{"}}\text{with %#%#% and %#%#%"} \\ \tag{3'} & S3 \land \lnot S1 \land S2 \\ \end{align}

La interpretación de $\;\lnot(\lnot \psi \;\equiv\; \phi)\;$, esto significa que $\;\lnot P\;$ es falso e $\;\Rightarrow\;$ $\;\Rightarrow\;$ son verdaderas: la primera declaración es la mentira.

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Nota cómo (para mi sorpresa!) no necesitamos usar $(3)$, $\;P := S3\;$, o $\;Q := \lnot S1 \land S2\;$ a todos: estos son todos los implicados por $\text{(3')}$.