Es cierto que $A \geq B$ implica $\|A\|_2 \geq \|B\|_2$$A,B \geq 0$?

Question

Todas las matrices son reales y no necesariamente simétrica. Denotar por $A \geq B$ la condición de que $(A-B)$ tiene los autovalores con los no-negativa de piezas reales. Denotar por $\| \cdot \|_2$ $L_2$ matriz de la norma.

Es cierto que $A \geq B$ implica $\|A\|_2 \geq \|B\|_2$$A,B \geq 0$?

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Edit: Ahora veo que no se mantiene en general, yo también estaría muy agradecido si alguien pudiera proporcionar condiciones adicionales en $A$ $B$ que $\|A\|_2 \geq \|B\|_2$ contendría.

Estoy especialmente interesada en saber si la instrucción puede ser rescatado los siguientes casos:

1. $A,B$ simétrica.
2. $A = \Xi$, $B = \Xi P$ donde $P$ es una matriz estocástica (filas suma a 1) y $\Xi$ una matriz diagonal con el director de la izquierda autovector de a $P$ (es decir, la distribución estacionaria) en la diagonal.

Answer 1

No necesariamente. Por ejemplo, podemos tomar $$ A = \pmatrix{1&0\\0&1}, \quad B = \pmatrix{1&1\\0&1} $$ el único autovalor de a$A-B$$0$, lo $A \geq B$. Sin embargo, $\|A\|_2 = 1 < \|B\|_2$.

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Con respecto a su actualización: al $A,B$ son simétricas, esto equivale a mostrar que la si $A,B,$ $A-B$ son positivas semidefinite, a continuación,$\|A\|_2 \geq \|B\|_2$.

Tenga en cuenta que $$ \|B\|_2 = \sup_{\|x\| = 1}x^*Bx \leq \sup_{\|x\| = 1}\left(x^*Bx + x^*(a-B)x\right) = \sup_{\|x\| = 1}x^*Ax = \|\|_2 $$