Por qué las matrices de Markov siempre tienen 1 como valor propio

Question

También llamada matriz estocástica. Sea

• $A=[a_{ij}]$ - matriz sobre $\mathbb{R}$

• $0\le a_{ij} \le 1 \forall i,j$

• $\sum_{j}a_{ij}=1 \forall i$

es decir, la suma a lo largo de cada columna de $A$ es 1. Quiero mostrar $A$ tiene un valor propio de 1. La forma en que he visto esto es que $A^T$ tiene claramente un valor propio de 1, y los valores propios de $A^T$ son los mismos que los de $A$ . Esta prueba, sin embargo, utiliza determinantes, transposiciones de matrices y el polinomio característico de una matriz, ninguno de los cuales es un concepto especialmente intuitivo. ¿Alguien tiene una prueba intuitiva alternativa (o un esbozo de prueba)?

Mi objetivo es entender intuitivamente por qué, si $A$ define las probabilidades de transición de alguna cadena de Markov, entonces $A$ tiene un valor propio de 1. Estoy estudiando el algoritmo PageRank de Google.

Answer 1

Cuando calculamos los valores propios y los vectores propios: Dado un valor propio Y, y el vector propio asociado a Y es un vector no nulo x tal que (A-YI)x=0

Ahora, en la cadena de Markov, un vector de estado estacionario (cuando se multiplica el efecto o cualquier tipo de transformación lineal en la matriz de estado prob produce el mismo vector):

qp=q donde p es la matriz de transición de estado prob esto significa que Y = 1 como vector propio de P' lo que también significa

Existe un único vector de probabilidad q que es un vector propio asociado al valor propio 1.