Deje $H$ ser un verdadero espacio de Hilbert separable. Es cierto que existe una probabilidad del espacio $(\Omega, \mu)$ y una función medible $\pi\colon \Omega \to H$ tal que para cualquier $h \in H$ hemos $$ e^{-||h||^2}=\int_\Omega e^{i\langle h,\pi(\omega)\rangle}d\mu(\omega) \ \ ? $$
Respuesta
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En Araujo y Giné libro El teorema del límite central en espacios de Banach, hay un ejercicio que consiste en mostrar que el mapa de $\phi\colon x\mapsto \exp\left(-\frac{\lVert x\rVert^2}2\right)$ $H$ $\Bbb R$es positiva definida (en el sentido de la declaración del teorema de Bochner) pero no es la característica funcional de una variable aleatoria.
De hecho, teniendo en cuenta $(\eta_j,j\geqslant 1)$ una secuencia de yo.yo.d. Gauss variables aleatorias y $X:=\sum_{j\geqslant 1}\eta_je_j$ donde $(e_j,j\geqslant 1)$ es una base ortonormales de $H$, tenemos, por la unicidad teorema de Hilbert separables espacios que $\phi$ sería la característica de la función de $X$. Sin embargo, la secuencia de $\left(\sum_{j=1}^n\eta_je_j,n\geqslant 1\right)$ no está apretado.
