En matemáticas, ¿cómo se aplica algo como los números complejos al mundo real? ¿Por qué existen los números complejos? ¿Cómo podemos comprender la adición de números complejos? Por ejemplo, la adición de números naturales puede entenderse como si al juntar dos manzanas y dos naranjas se obtuvieran cuatro frutas. ¿Cómo podemos aplicar este pensamiento a los números complejos?
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user8269
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"¿Cómo se aplica algo como los números complejos al mundo real?" Escriba $$\rm circuits\ and\ complex\ numbers$$ en Google, y encontrarás que los cálculos de las corrientes en los circuitos eléctricos se hacen utilizando números complejos.
"¿Por qué existen los números complejos?" La ecuación $x^3-4x+1=0$ tiene tres soluciones reales, pero es imposible expresarlas (en términos de operaciones aritméticas y raíces cuadradas y cúbicas) sin utilizar números complejos. Así que los números complejos aparecen de forma natural para encontrar soluciones reales de ecuaciones reales. Frase clave de búsqueda: casus irreducibilis.
"¿Cómo podemos comprender la adición de números complejos?" ¿Qué hay que comprender? Si queremos sumar $2+3\sqrt{-1}$ a $4+5\sqrt{-1}$ Lo hacemos $2+4=6$ y $3+5=8$ para obtener la respuesta $6+8\sqrt{-1}$ . Igual que sumar 2 manzanas y 3 unicornios a 4 manzanas y 5 unicornios, obteniendo 6 manzanas y 8 unicornios.
Los números cuentan $(\mathbb{N})$ y medir $(\mathbb{R})$ . Sin embargo, la complejidad $(\mathbb{C})$ o imaginario $(i\,\mathbb{R})$ los números no hacen ninguna de las dos cosas. Entonces, ¿para qué sirven? $($ ¿Es esto lo que está preguntando? $)$ Bueno, digamos que ingeniería tal y como la conocemos sería mucho más difícil de entender o aplicar sin su ayuda, al igual que mecánica e infografía o incluso física moderna por lo que respecta a este tema. Muchos de los problemas prácticos que surgen en estos campos requieren a menudo la resolución de integrales de contorno, lo que en muchos casos no puede hacerse sin el uso de integración compleja . Su trigonométrico Las aplicaciones van desde ubicación geográfica y proyecciones cartográficas a procesamiento de la señal y otros ramas de ingeniería eléctrica . Básicamente, todas las señales de radio o acústicas, así como la propia electricidad, no son otra cosa que formas de onda sinusoidales (y los que no lo son pueden ser fácilmente descompuesto en tal), y cuyo estudio se volvería muy tedioso rápidamente, si no fuera por la relación de Euler, $e^{ix}=\sin x+i\cdot\cos x$ .
Dylan Yott
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Hay muchas maneras de desarrollar la intuición con los números complejos y ya se han mencionado anteriormente, así que intentaré decir algo diferente. No creo que importe si los números complejos "existen" o no, simplemente importa que son muy útiles y, por lo tanto, vale la pena estudiarlos. De hecho, es difícil decir si algún número existe realmente. Por ejemplo, ¿cuál es el número $5$ ? ¿No hay un árbol en algún lugar de Islandia donde $5$ 's crecen y se envían a todo el mundo para su uso comercial. En cambio, tenemos un concepto de $5$ que ha sido acordado universalmente en algún sentido y puede ser representado por $5$ de algo, por ejemplo lo siguiente representa $5$ en algún sentido: $* * * * *$ .
Lo que quiero decir es que, para mí, los números naturales ni siquiera "existen" en ningún sentido significativo. Simplemente resultan ser conceptos que parecen darse en la naturaleza y hemos dado con una forma útil de caracterizarlos. Incluso se podría argumentar que los números complejos se dan "en la naturaleza" en el sentido de que podemos utilizarlos para describir ciertas leyes físicas. Sin embargo, eso me satisface menos, ya que hay muchas construcciones matemáticas sin interpretación física. En cambio, me gusta pensar que los números complejos son simplemente una construcción matemática que resulta muy útil para resolver distintos tipos de problemas.
