Qué $f^3$ integrable implican $f$ integrable?

Question

Deje $f$ ser una función definida en el intervalo de cerca de $[a,b]$. ¿La de riemann stieltjes integrabilidad de $f^3$ implica la definición de la integral stieltjes integrabilidad de $f$ ? La respuesta es trivialmente no en el caso de $f^2$, pero no soy capaz de encontrar un contraejemplo para el caso de $f^3$.

Answer 1

Usted podría tratar de demostrar el siguiente teorema : Si $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ es Riemann-integrable, y $\varphi : [c,d]\to \mathbb{R}$ es continua donde$f([a,b])\subset [c,d]$, $\varphi\circ f$ es Riemann integrable.

Usted necesita para comenzar con la definición de la integral de la condición de integrabilidad (diferencia entre la parte Superior e Inferior de la suma es pequeña), y utilizar el uniforme de la continuidad de la $\varphi$. Se necesita un poco de más trabajo, pero que es la esencia de la discusión.

Ahora se acaba de tomar $\varphi(x) :=x^{1/3}$, para que su declaración es verdadera.