Integrar a $ \int_{0}^{1} \frac{\tan^{-1}(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx$ sin el uso de las Funciones Hiperbólicas

Question

Yo tenía originalmente para resolver esta Integral:

$$ \int_{0}^{1} \frac{\tan^{-1}(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx$$

Me sugirieron que me introduce el parámetro $a$ y, a continuación, tratar de Diferenciación Bajo el Signo Integral. Por lo tanto, me reescribir la Integral como $$ I(a)=\int_{0}^{1} \frac{\tan^{-1}(ax)}{\sqrt{1-x^2}} dx$$ $$\Longrightarrow I'(a)= \int_0^1\dfrac{y}{(1+(ay)^2)(\sqrt{1-y^2})}dy$$ Pensé entonces yo podría tratar de Integración Por Partes con $\sqrt{1-y^2}$ en el denominador como la derivada de la $\sin^{-1}(y)$. Sin embargo, no entiendo cómo podría ayudar. Mi amigo sugirió el uso de las funciones hiperbólicas, pero no sé nada acerca de ellos. $$$$ Podría alguien ser tan amable de mostrarme cómo resolver este problema? Muchas, muchas gracias de antemano!

Answer 1

Tomar $y=\sin\left(u\right) $, we get $$\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin\left(u\right)}{1+a^{2}\sin^{2}\left(u\right)}du=\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin\left(u\right)}{a^{2}+1-a^{2}\cos^{2}\left(u\right)}du. $$ Now put $\cos\left(u\right)=v $, then $$\int_{0}^{1}\frac{1}{a^{2}+1-a^{2}v^{2}}dv=\frac{1}{a^{2}+1}\int_{0}^{1}\frac{1}{1-\frac{a^{2}v^{2}}{a^{2}+1}}dv $$ and finally put $\frac{av}{\sqrt{a^{2}+1}}=t $ to get $$\frac{1}{a\sqrt{a^{2}+1}}\int_{0}^{a/\sqrt{a^{2}+1}}\frac{1}{1-t^{2}}dt=\frac{1}{a\sqrt{a^{2}+1}}\tanh^{-1}\left(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}\right)=\frac{1}{a\sqrt{a^{2}+1}}\log\left(\sqrt{a^{2}+1}+a\right) $$ using the identity, for $x<1$ $$\tanh^{-1}\left(x\right)=\frac{1}{2}\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right).$$