Es $[0,1]$ *orientado* manifold con frontera? (y el teorema de Stokes)

Question

Las definiciones que estoy utilizando son

• un manifold con frontera es algo a nivel local homeomórficos a $(0,1] \times \mathbb{R}^n$ o $\mathbb{R}^n$.

• una orientada al colector es uno donde la transición de las funciones entre cualquier dos cartas positivas para la Jacobiana.

Es claro que el $[0,1]$ es una variedad con frontera. Se orienta? Me parece estar llegando a la conclusión de que no lo es, porque en torno a $0$, el local gráfico es $x \to 1-x$, y alrededor de $1$ el local gráfico es $x \to x$, y estos tienen orientaciones opuestas. Pero el teorema de Stokes seguramente debe aplicar a este valor y reducir el teorema fundamental del cálculo. Recordemos que el teorema de Stokes dice que si $M$ es un compacto orientado $n$-colector con límite de $\partial M$ con la inducida por la orientación y la $\omega$ $n-1$ formulario, a continuación, $$\int_{\partial M} \omega = \int_M d\omega.$$ Tomando $\omega=f$ un formulario cero, es decir, la función y el $M=[0,1]$, espero que se recupere $$f(1)-f(0) = \int_0^1 f'(x) dx ,$$ so $[0,1]$ sospecho que es una orientada al manifold con frontera, pero yo no estoy viendo exactamente por qué.

En el mismo tenor, creo que se puede ver intuitivamente que el cerrado de la unidad de disco es una orientada al manifold con frontera y, a continuación, Stokes da Verde del teorema.

@Bill, en un comentario debajo de usted escribió "el cuadro que contiene 1 orienta el intervalo de 0→1." Bien, permítanme ser más precisos: el gráfico de $U_1=(0,1] \to (0,1]$ $x \to x$ ( $x \in (0,1]$ ) orienta $(0,1]$. No puedo extender este gráfico en particular para incluir a $0$ porque $[0,1]$ no sería un homeomórficos a $(0,1]$ que está en mi definición de colector con el cierre de la frontera. Para obtener un gráfico, incluyendo el cero, tengo que incluir otro gráfico, e.g $U_2=[0,1)$ y, a continuación, el mapa de $x \to 1-x$ sería un homeomorphism $U_2 \to (0,1]$ como se requiere en la definición que yo estoy utilizando para manifold con frontera. Pero ahora, en estos cuadros tienen orientaciones opuestas. No sé cómo llegar hasta con dos (o más) de los gráficos que no se dan orientaciones opuestas. La definición de manifold con frontera que estoy usando es el de p.25 de Voisin de la Teoría de Hodge y Compleja Geometría Analítica 1, y su facilidad de considerarse equivalente a la más estándar homeomórficos a un subconjunto abierto de la cerrada de la mitad superior del plano. Estoy de acuerdo con tu segundo commment.

Answer 1

Ok, este es un poco tarde y que podría haber solucionado ya por sí mismo. Pero me topé con esta pregunta en Google, porque yo también tenía este problema, yo espero que la gente con el mismo problema se puede encontrar esta solución. Hay una peculiaridad que pocos libros discutir que sólo ocurre en la dimensión 1. Con su definición (y más) el intervalo de $[0,1]$ sí no tiene una orientada al atlas. Esto es fácil de ver debido a que, como se dijo, las cartas locales en los extremos tienen orientaciones opuestas, y cualquier otra colección de gráficos va a voltear monotonía en algún punto y en este punto las orientaciones serán incompatibles.

Para arreglar esto debe definir un colector con límite de distinguir dos casos (lo siento para cambiar su definición, pero es sólo un cambio superficial): en la dimensión $n >1$ a (topológico) manifold con frontera es un segundo contables de Hausdorff espacio topológico localmente homeomórficos a $\mathbb{H}^n = \{x \in \mathbb{R}^n\,:\, x^n \geq 0\}$ (esto es sólo la definición habitual). Si $n = 1$ a continuación, se definen una $1$-dimensiones topológicas manifold con frontera como una segunda contables topológico de Hausdorff espacio donde en cada punto de $p$ hay un barrio $U$ $p$ y un mapa de la $\varphi : U \to \mathbb{R}$ donde $\varphi(U)$ está abierto en cualquiera de las $\mathbb{H}^1$ o $\mathbb{H}^1_{-} = \{x \in \mathbb{R} : x \leq 0\}$ con la topología relativa y $\varphi_{|U}$ es un homeomorphism.

Ahora puede definir todo lo demás (suave múltiple de admisión, orientación, etc.) como de costumbre. Con esta definición se puede dar $[0,1]$ la estructura de un buen colector con el límite de la utilización de los gráficos: $(U = [0,1)$, $\varphi(x) = x)$ y $(V = (0,1]$, $\psi(x) = x-1)$, que son claramente compatibles orientación sabio.

Este es el enfoque dado en Loring Tu: Una introducción a los colectores, que especialmente se analiza esta dificultad en la página 254; ejemplo 22.9.