¿Por qué no puedo simplemente utilizar el álgebra para resolver esta desigualdad?

Question

Considere la posibilidad de la desigualdad:

$\frac{(x+3)(x-5)}{x(x+2)}\geq 0$

¿Por qué no puedo simplemente multiplique ambos lados por $x(x+2)$ y consigue $(x+3)(x-5)\geq 0$ ?

Lo que produciría: $x^2-2x-15\geq 0$ y entonces yo podría usar la fórmula cuadrática para derivar la respuesta..?

Esto parece algebraica correcta, pero supongo que es porque soy malentendido algo fundamental acerca de las desigualdades.

Answer 1

Si $x(x+2)$ es negativo, entonces usted necesita para cambiar el sentido de la desigualdad.

Answer 2

Estás haciendo tu vida más difícil por la expansión del numerador y sugiriendo el uso de la fórmula cuadrática. En la expresión $$Y = \frac{AB}{CD},$$ the sign of $Y$ is determined by the signs of $a, B, C, D$, or whether any of them are zero. Specifically, if either of $C$ or $D$ are zero, then $S$ is undefined and has no sign. Otherwise, if either of $$ or $B$ are zero, then $S$ is zero. If all quantities in the numerator and denominator are nonzero, then $S$ is positive if and only if there are an even number of negative quantities among $a, B, C, D$, y negativa en caso contrario.

Con eso en mente, tener una mirada en su expresión, $$\frac{(x+3)(x-5)}{x(x+2)}.$$

Cada monomio se cambio de signo cuando se cruza por cero, que son los puntos de $-3, 5, 0, -2$, que en orden de es $-3, -2, 0, 5$. Así que, con las reglas anteriores en mente, usted sólo tiene que mirar a lo que sucede en los intervalos y puntos de $(-\infty, -3), -3, (-3, -2), -2, (-2, 0), 0, (0, 5), 5,$$(5, \infty)$.

Answer 3

Usted necesita estar seguro de que $x\neq 0$$(x+2)\neq 0$. Por otra parte, la multiplicación de ambos lados de la desigualdad por $x(x+2)$ tiene el efecto de cambiar la desigualdad si $x(x+2)<0$. En otras palabras, es necesario estudiar también el signo del denominador de la fracción.

Answer 4

Tenga en cuenta que en el Cálculo siempre se tiene algo como $A/B=C$ y desea eliminar el denominador por la multiplicación, usted debe asumir que el $B\neq 0$. Por otra parte, si $$A/B\le C, ~B\neq 0$$ then $$B>0\to A\le BC,~~~B<0\to A\ge BC$$

Answer 5

Al multiplicar ambos lados por un número negativo el signo entre ambos lados de cambio de opuestos, como por ejemplo,$1 < 2$, pero $-1 = 1\cdot(-1) > 2\cdot(-1) = -2$ y usted tendrá que considerar diferentes casos dependiendo del signo del denominador. Así que, primero se tendría que solucionar $x(x+2) \geq 0$ da $x\in\left[-\infty, -2\right]\cup\left[0, \infty\right]$. Para aquellos números que tenemos $(x+3)(x-5) \geq 0$, y para $x\in(-2, 0)$ tenemos $(x+3)(x-5) \leq 0$ que es un poco de trabajo. Por el contrario, es mejor utilizar el hecho de que $$\frac{f(x)}{g(x)}\geq 0 \iff f(x)g(x)\geq 0 \text{ and } g(x) \neq 0$$